专题08 平行四边形的性质与判定重难点题型专训-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题08 平行四边形的性质与判定重难点题型专训 【题型目录】 题型一 利用平行四边形的判定定理证明 题型二 利用平行四边形的性质求角度 题型三 利用平行四边形的性质求长度 题型四 利用平行四边形的性质求面积 题型五 平行四边形中的线段最值问题 题型六 平行四边形中的翻折问题 题型七 平行四边形中的旋转问题 题型八 平行四边形的存在性问题 题型九 三角形中位线有关的证明 题型十 平行四边形的性质与判定综合题型 【经典例题一 利用平行四边形的判定定理证明】 【知识归纳】 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【例1】（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】延长CM交AD于N，先由AAS证得△BCM≌△DNM，得出NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，求出AN＝BC，得出四边形ABCN是平行四边形，即可得出结果． 【详解】解：延长CM交AD于N，如图所示： ∵点M是线段BD的中点， ∴BM＝DM， ∵ADBC， ∴∠CBM＝∠NDM，∠BCM＝∠DNM， 在△BCM和△DNM中， ， ∴△BCM≌△DNM（AAS）， ∴NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3， ∴AN＝AD﹣DN＝6﹣3＝3， ∴AN＝BC， ∵ADBC， ∴四边形ABCN是平行四边形， ∴CN＝AB＝5， ∴CM＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，添加辅助线证明△BCM≌△DNM是解题的关键． 【变式训练】 【变式1】（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（　　） ①EG⊥AB；②EF=EG；③四边形BEFG为平行四边形；④AC垂直平分线段FG． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质证明出AD=OD=OB=BC，根据三线合一定理得到∠AEB=90°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断②；根据三角形中位线定理证明EF=BG，EFBG，即可判断③；设FG与AC交于点M，证明FG⊥AC，再由EG=FE，即可证明AC垂直平分FG，即可判断④；根据现有条件无法证明①； 【详解】∵平行四边形ABCD， ∴ABCD，AD=CB，AB=DC，BD=2OD， ∵E，F，G分别是OC，OD，AB的中点， ∴EF是△OBC的中位线， ∴EF=CD=AB，EFCD， ∵BD=2AD， ∴AD=OD=OB=BC， ∴BE⊥OC， ∴∠AEB=90°， ∵EG是△AEB的中线， ∴AG=EG=AB=BG， ∴EF=EG，故②正确； ∴EF=BG，EFBG， ∴四边形BEFG是平行四边形，故③正确； 设FG与AC交于点M， ∵四边形BEFG是平行四边形，   ∴FGBE， ∵BE⊥AC， ∴FG⊥AC， ∵EG=FE， ∴AC垂直平分FG，故④正确； 根据现有条件无法证明EG⊥AB ∴正确结论的序号为②③④． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，熟知平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理是解题的关键． 【变式2】（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________ 【答案】 【分析】过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，先证得是等边三角形，可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则， ∵D是边上的中点， ∴， ∵把沿翻折，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了图形的折叠，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，根据题意得到是解题的关键． 【变式3】（2022春·宁夏银川·八年级校考期末）如图