6.3.2&6.3.3平面向量的正交分解及平面向量加减运算的坐标表示-【361课堂】2022-2023学年高一数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019必修第二册)

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 1 课程标准 1.理解平面向量基本定理及其意义 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解与坐标表示 3.会用坐标表示向量的加、减运算和数乘运算 4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个向量的夹角 5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件 2 复习回顾 回顾 平面向量基本定理是怎样的？ (1)平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. (2)基底：若不共线，我们把{叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 追问2 基底的要求是什么？ 追问1 平面的基底有多少组? 无数组 不共线 3 新课导入 给定平面内两个不共线的向量由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解为两个向量，即，其中向量与共线，向量与共线. 不共线的两个向量互相垂直是一种很重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 4 新课导入 如图，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. 正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形. 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便. 重力可以分解为这样两个力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力. 5 一 二 三 教学目标 理解平面向量的正交分解，掌握平面向量的坐标表示 掌握平面向量加、减运算表示 平面向量的正交分解及坐标表示和加、减的运算表示的应用 教学目标 新知探究 探究一：平面向量的正交分解与坐标表示 7 新知讲解 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示. 问题1 如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 如图，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得. 为单位正交基底，为的正交分解 8 新知讲解 这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标 记作 ① 其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 9 概念生成 我们用坐标表示直角坐标平面内的一个向量的步骤： 1.取基底；与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底; 2.取实数对（系数）；由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得； 记作 10 新知讲解 向量 坐标 显然，，，. 如图，在直角坐标平面中，以原点为起点作，则点的位置由向量唯一确定. 设，则向量的坐标()就是终点的坐标；反过来，终点的坐标()也就是向量的坐标.因为，所以终点的坐标()就是向量的坐标. 这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 11 例题讲解 例3.如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标. 解：由图可知，， 所以. 同理，， ， 12 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量及其应用 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 13 新知讲解 问题1 平面内的任一向量是怎么被坐标表示？ 1.取基底；与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底; 2.取实数对（系数）；由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得； 记作 14 新知讲解 问题1 已知，你能得出的坐标吗？ 其实与坐标间的加减是类似！ 同理可得 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). 15 例题讲解 例4.已知求的坐标. 解： 16 新知讲解 问题2 如图，已知，，你能得出的坐标吗？ 如图，作向量，，则 17 新知讲解 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 末减初 点的坐标 向量的坐标表示 18 例题讲解 例5.如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，，求顶点的坐标. 解法1：如图，设顶点的坐标为 因为 又 所以 即解得 所以顶点的坐标为 19 解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知 而 所以顶点的坐标为 例题讲解 20 小结 1.向量的坐标表示 （1）取基底；与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底; （2）取实数对（系数）；由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得； 记作 21 小结 2.平面向量的坐标运算 平面向量加、减运算的坐标表示 设，. 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标