6.3.1平面向量基本定理-【361课堂】2022-2023学年高一数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019必修第二册)

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理 1 课程标准 1.理解平面向量基本定理及其意义 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解与坐标表示 3.会用坐标表示向量的加、减运算和数乘运算 4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个向量的夹角 5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件 2 复习回顾 回顾1 我们上节课学习了哪些向量的运算？请同学们试着用适当的数形结合的思想进行描述，将抽象的问题具象化。 向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘运算 向量的数量积运算 3 复习回顾 回顾2 我们如何利用向量的知识证明两个向量（两条直线）共线、垂直，并且算出它们之间的夹角？ 共线（平行）： 垂直： 夹角： 4 新课导入 上节我们学习了向量的运算，知道位于同一条直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 5 一 二 三 教学目标 掌握平面向量基本定理 理解向量基底的概念 能利用平面向量基本定理解决相关的问题 教学目标 难点 重点 易错点 探究一：平面向量基本定理及基底的概念 新知探究 7 新知讲解 我们知道，再物理中，已知两个力，可以求出它的合力；反过来，一个力的合力可以分解成两个力。 我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力. 8 新知讲解 问题1 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ 如图(1)，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量.如图(2)，在平面内任取一点，作，，. 追问1 将按的方向分解，你有什么发现？ 图(1) 图(2) 9 新知讲解 过点做平行于直线的直线，与直线于点 过点做平行于直线的直线，与直线于点 M N =λ1+λ2 发现：一般地，对给定的向量，任意一个向量都可以表示成λ1+λ2的形式． 准确吗？ 10 追问2 可以表示平面上任意向量吗？ 有没有什么限制呢？ 新知讲解 若 共线 无法表示！ 要想用来表示任意向量，首先要保证两个向量不共线 即 11 新知讲解 我们可以发现：一般地，对给定不共线的向量，任意一个向量都可以表示成λ1+λ2的形式． 追问3 当是与或共线的非零向量时，也可以表示成的形式吗？ 可以， 此时λ2=0或λ1=0 追问4 当是零向量时，可以表示成的形式吗？为什么？ 可以， 此时λ1=λ2=0 12 新知讲解 我们可以发现：一般地，对给定不共线的向量，任意一个向量都可以表示成λ1+λ2的形式． 追问5 平面内任一向量都可以表示成的形式，这种表示形式是唯一的吗？（的值唯一吗？） 13 新知讲解 若=，则． 得( λ1－+( λ2 －= ． 则λ1－， λ2 －全为0 即λ1=μ1，λ2=μ2． 假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0， 则 ,由此可得共线， 与已知不共线矛盾． 所以： 也就是说，有且只有一对实数，使. 14 概念生成 综上，我们得到如下定理： 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 若，不共线，我们把，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便. 15 探究二：平面向量基本定理的应用 新知探究 16 例题讲解 例1.如图，，不共线，且，用，表示. 解：因为， 所以 追问 仔细观察式子，并结合图象，你发现了什么？ 若三点共线，为直线外一点存在实数，使且. 17 新知讲解 例2.如图，是的中线，用向量方法证明是直角三角形. 证明：如图，设，，则，，于是. 因为，所以 因为，，所以 因此. 于是是直角三角形. 数量积为零是证明两条直线垂直的重要方法之一！ 18 小结 (1)平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. (2)基底：若不共线，我们把{叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 若三点共线，为直线外一点 存在实数，使且. 19 $