第六章 实数章节复习讲义-2022-2023学年七年级数学下册专题专练与章末提升（人教版）

第六章 实数章节复习讲义 本章知识结构导图 本章核心考点总结 核心考点1 平方根 要点复习 一、算数平方根 1．定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的__________． 2．表示方法 a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数． 3．算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根为； ②0的算术平方根是0，即=__________； ③负数没有算术平方根． ④算术平方根具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a≥0；算术平方根本身是非负数，即≥0． 4.非负数的重要性质： 若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 初中阶段三种非负数： ①绝对值； ②偶次方； ③偶次方根. 非负数有最小值，最小值为0. 二、平方根 1. 平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的________或二次方根． 【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0． 2. 平方根的性质 ①一个正数a有_______个平方根，其中一个是“”，另一个为“”，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根． 3. 开平方的概念 求一个数a的平方根的运算，叫做__________． 4. 利用平方根的定义解方程 将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如或，然后利用平方根的定义得到或，进而得到原方程的解． 三、平方根与算术平方根的区别 ①定义不同； ②个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示； ④取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负． 典例解析 1．用式子表示“4的平方根是”，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若是整数，则满足条件的自然数m共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．若和的和是单项式，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 4．64的算术平方根是______，的平方根是______． 5．若，则的平方根是______． 6．求下列各式的值； （1）_____； （2）__； （3）__； （4）__． 7．定义新运算：对于任意实数，，都有，则______． 8．已知，，则______． 9．若，则________． 10．若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________． 11．计算：． 12．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 13.求下列式子中的x （1） （2）． 核心考点2 立方根 要点复习 1．立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根． 2. 表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． 注：互为相反数的两数的立方根也互为相反数． 3．开立方 求一个数的立方根的运算，叫做__________． 性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0； ②； ③=a． 开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根． 4．平方根和立方根的区别和联系 ①被开方数的取值范围不同 在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数． ②运算后的数量不同 一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根． 典例解析 1.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2．关于平方根与立方根知识，下列说法正确的是（   ） A．如果一个数有平方根，那么这个数也一定有立方根 B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 C．平方根是它本身的数只有，立方根是它本身的数也只有 D．如果一个数有正负两个平方根，那么这个数也有正负两个立方根 3．一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 4．下列语句正确的是（　　） A．的立方根是 B．是的平方根 C．是27的负立方根 D．的平方根是 5．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．若，，那么________． 7．已知与互为相反数，则________． 8．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为______