湖南省长沙市弘益高级中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

长沙市弘益高级中学2022-2023学年度第一学期期末考试试卷 高二年级数学 分值：150 分 时量：120 分钟 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（     ） A． B． C． D．2 3．已知x，y为正实数，且，则的最小值是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．奇函数满足，当时，，则=（     ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，，，则（     ） A． B． C． D． 6．若圆锥的轴截面为等边三角形，且面积为，则圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 7．抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（     ） A．高三年级学生平均学习时间最长 B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准 C．大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间 D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠 10．若直线不能构成三角形，则的取值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（     ） A．有无数个点满足 B．当点在棱上运动时，的最小值为 C．若 ，则动点的轨迹长度为 D．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是 12．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的可能取值为（     ） A. －5 B. －3 C. －1 D. 1 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．已知圆，若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC的面积最大值为___________． 14．数列的通项公式为，若数列为递减数列，则的取值范围是_________． 15．设双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线分别与双曲线的左、右支交于点、，若以为直径的圆过点，且，则该双曲线的离心率为__________． 16．已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a =_________． 四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为，且． (1)求角C的大小； (2)若的外接圆半径为2，求的面积最大值． 18．（12分）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值. 19． （12分）在等腰梯形ADEF中，，，，．在矩形ABCD中，． 平面平面ABCD． (1)证明：； (2)求直线AF与平面CEF所成角的大小． 20．（12分）已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1＝0，∠A的角平分线所在的直线方程为y＝0，点C的坐标为（1，2）． （1）求点A和点B的坐标； （2）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程． 21．（12分）椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过点作动直线与椭圆交于A，两点，过点A作直线的垂线，垂足为，求证：直线过定点. 22．（12分）已知函数. (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围. 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1．C 【解析】由，解得，则.又∵，∴. 2．D【解析】由已知，故，故z的虛部是2. 3．B【解析】依题意，，， 当且仅当时等号成立. 4．A【解析】解：已知奇函数满足，是以4为周期的