专题17.1勾股定理（4大热门考点）-简单数学之2022-2023学年八年级下册基础考点三步通关（人教版）

专题17.1勾股定理 一、基础知识点 勾股定理：直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方。 勾股定理的证明：勾股定理的证明主要采用面积法。 勾股定理应用：分成两个方面： 1、计算：利用勾股定理构造方程求解几何量或解决实际问题；初中阶段勾股定理的重要作用在于应用它来构造方程，以解决几何问题。同时，数学史上异彩纷呈的证明方法为勾股定理证明问题的命制提供了大量资源。 2、用于几何证明 二、热门考点训练 考点1:勾股定理的证明 典例：（2022·山东潍坊·八年级期中）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程； 探索研究： (2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； 问题解决： (3)如图2，若，，此时空白部分的面积为__________； (4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 方法或规律点拨 本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． 巩固练习 1．（2022·山东临沂·八年级期中）用一张纸片剪出一个空洞，空洞由边长分别为a，b的两个正方形和斜边为c的两个直角三角形组成，如图所示，下列表示空洞面积的式子正确的是（       ） A． B． C． D． 2．（2022·山西吕梁·八年级期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（       ） A． B． C． D． 3．（2022·河北邯郸·一模）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（       ） A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理 4．（2022·广东东莞·八年级期末）数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的和如图所示摆放，使点，，在同一条直线上，中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明．请写出证明过程． 5．（2022·全国·八年级）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下： 把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理 (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米． 6．（2022·江苏·八年级）如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）． (1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理． (2)假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理． 7．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理． 考点2：以弦图为背景的勾股定理应用 典例：（2022秋·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理 (2)如图，在中，，是边上的高，，，求的长度 (3)如图①，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值． 方法或规律点拨 本题考查了勾股定理的验证，勾股定理以及完全平方公式的知识，理解并灵活运用等面积法是解答本题的关键． 巩固练习 1．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图是由八个全等的直角三