考点03 平面向量基本定理及坐标表示5种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第二册)

考点03 平面向量基本定理及坐标表示5种常见考法归类 1、两个向量是否能构成基底 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 2、平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量. 3、应用平面向量基本定理一般思路： （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． （2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　 4、平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 5、利用向量共线的坐标表示求参数的一般步骤 (1)根据已知条件求出相关向量的坐标； (2)利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组； (3)根据方程或方程组求解得到参数的值．　 6、两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb． 注：一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．　 7、求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 8、解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 考点一 平面向量基本定理的应用 （一）平面向量基本定理的理解 （二）对基向量概念的理解 （三）用基底表示向量 （1）利用向量的线性运算法则转化 （2）列向量方程或方程组 （四）利用平面向量基本定理求参数 考点二 平面向量的正交分解 考点三 平面向量的坐标运算 （一）向量加减数乘运算 （二）定比分点 （三）向量的线性运算解决几何问题 考点四 向量共线的坐标表示 （一）由坐标判断向量是否共线 （二）利用向量共线求参数 （三）利用向量共线解决三点共线问题 （四）利用向量共线求向量或点的坐标 考点五 平面向量的数量积坐标表示 （一）向量数量积的计算 （二）向量垂直 （三）向量模长 （四）向量夹角 （五）向量投影 考点一 平面向量基本定理的应用 （一）平面向量基本定理的理解 1．（2022春·高一课时练习）下列说法错误的是（    ） A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示 B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示 C．平面上向量的基底不唯一 D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一 2．【多选】（2022·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ） A．若实数m，n使，则 B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数 C．对于m，，不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使 3．【多选】（2022春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（    ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. （二）对基向量概念的理解 4．（2022·高一课时练习）判断正误． （1）平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( ) （2）零向量可以作为基向