4.1 数列的概念（第2课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第四章 数列 数列的概念 授课人：XXX 第2课时 第4.1节 学习目标 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法以及数列的分类； 01 理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确他们的异同； 02 理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和公式求出数列的通项公式. 03 核心素养 数学抽象 数列的概念、表示方法以及数列的分类； 01 逻辑推理 根据数列的前n项和公式求出数列的通项公式； 02 数学运算 根据数列的通项公式写出数列的项. 03 Part 01 数列的递推公式 问题探究 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 例3 分析： 要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数，使得. 也就是判断上述关于的方程是否有正整数解. 问题探究 令 解： 解这个关于 的方程，得 （舍去），或 . 所以，120是数列的项，是第10项. 已知数列的通项公式，判断某个数是不是这个数列中的项 问题探究 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 例4 （1） （2） （3） （4） 问题探究 （1） （2） （3） （4） 着色三角形的个数 1 3 9 27 取值规律 因此，这个数列的一个通项公式是 . 问题探究 题中数列的项的取值规律并不是很明显，遇到此种情况，该如何处理呢？ 当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律，如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察. 问题探究 观察图中的4个图形，你还能发现这个数列的项的其它取值规律吗？ （1） （2） （3） （4） 1 3 9 27 3倍 3倍 3倍 从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 问题探究 你能用数学语言描述这一规律吗？ （1） （2） （3） （4） 1 3 9 27 数列的递推公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 仅由数列的递推公式是否可以确定数列？ 不能，还需知道数列的首项或前项. 用递推法求数列的项 知道数列的首项或前项 知道数列的递推公式 递推的基础 递推的依据 数列的递推公式 数列的递推公式与通项公式的关系 类别 递推公式 通项公式 区别 联系 表示与它的前一项（或前几项）之间的关系 表示与序号之间的关系 ①都是表示数列的一种方法； ②由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式. 例题解析 例5 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 解： 由题意可知 ， ， ， ， . Part 02 数列的前n项和 数列的前项和 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一. 数列的前项和的定义 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. 数列的前项和公式 数列的前项和 数列的前𝑛项和与通项有何联系？ 所以 数列的前项和 当时，， 已知数列的前项和公式为，你能求出的通项公式吗？ 当时，， 并且当时，依然成立. 所以 的通项公式是 . 数列的前项和 由求的步骤： 01 当时，由，求得. 02 当时，由，求得. 03 检验：若符合，则合并通项公式；若不符合，则用分段形式表示通项公式. Part 03 小结及随堂练习 课堂小结 数列的概念 数列的递推公式 定义 数列的递推公式与通项公式的关系 数列的前项和 定义 公式 与的关系 随堂练习 1、在各项均为正数的数列中，，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【解析】 由题意知，，整理得 ，所以， 又，所以. ∵ ，所以 . 随堂练习 2、已知数列的前项和，则该数列的通项公式为( ) A. B. C. D. 【解析】 当， 当， ，不符合上式. 所以数列的通项公式为. 随堂练习 3、如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第个图形由个正方形组成. 【解析】 可得第个图形中火柴棒的根数为. 通过观察可以发现：第个图形中，火柴棒的根数为（ ） ⋯ A. B. C. D. 随堂练习 4、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数，第个三角形数为. 记第个边形数为以下列出了部分边形数中第个数的表达式： 三角形数 ， 正方形数 ， 五边形数 ， 六边形数 ， ⋯ 可以推测的表达式，由此计算 1000 随堂练习 【解析】 观察和前面的系数，可知的系数依