6.2.1&6.2.2 排列与排列数（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

6.2.1&6.2.2 排列与排列数 一、排列 1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做个不同元素中取出个元素的一个排列。 排列定义的两个要素：一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列” 2、相同排列：两个排列相同，当且仅当排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同。 3、对排列概念的两个关注点： （1）顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。 （2）选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。 二、排列数 1、定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。 2、全排列：个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，且 阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。 3、排列数公式： 特别的：（且）；规定： 三、有限制条件排列问题常见类型 1、解有“相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。 2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。 【注意】根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”。 3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法 解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主 题型一 排列的概念及其判断 【例1】（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）下列问题是排列问题的是（ ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【变式1-1】（2022春·江西南昌·高二南昌十中校考阶段练习）已知下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母; ④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（2022·高二课时练习）（多选）下列问题中，属于排列问题的是（ ） A．有10个车站，共有多少种不同的车票 B．有10个车站，共有多少种不同的票价 C．平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段 D．从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法 【变式1-3】（2022·高二课时练习）（多选）从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是（ ）. A．相加可得多少个不同的和 B．相除可得多少个不同的商 C．作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点为x轴上的椭圆方程 D．作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程 题型二 排列数的简单计算 【例2】（2022秋·甘肃庆阳·高二统考期末）（ ） A．10 B．5 C．20 D．4 【变式2-1】（2022·高二课时练习）若，则的个位数字是（ ） A．3 B．8 C．0 D．5 【变式2-2】（2022春·江苏南京·高二校考期中）（多选）下列各式中，等于的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·江苏南通·高一海安市曲塘中学校考开学考试）阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp）于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即 ．根据上述材料，以下说法错误的是（ ） A． B． C． D． 题型三 证明排列数恒等式 【例3】（2022春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）（1）求证：； （2）求证：； （3）求和：． 【变式3-1】（2022·全国·高二专题练习）求证： （1）； （2）． 【变式3-2】求证：（，，且）． 【变式3-3】求证：（1）； （2）. 题型四