6.3.2 二项式定理的性质（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

6.3.2 二项式定理的性质 一、二项式定理的性质 1、对称性：在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即，，…， 2、增减性与最大值 当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小； 二、巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题 1、求二项式系数和： （1）令，则 （2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即 2、求各项系数和 （1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，； （2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为； （3）若，则的各项系数之和为， 奇数项系数之和为，偶数项系数之和为 三、二项式系数的最值与项的系数的最值问题 1、二项式系数的最值问题 如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项， 它们的二项式系数和相等且最大； 2、项的系数的最值问题 求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可 四、应用二项式定理解决整除问题的方法 用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。 【注意】在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，，是除数），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。 五、杨辉三角： 当n依次取1,2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数可以表示成如下形式： (a＋b)1………………………………1 1 (a＋b)2……………………………1 2 1 (a＋b)3…………………………1 3 3 1 (a＋b)4………………………1 4 6 4 1 (a＋b)5……………………1 5 10 10 5 1 (a＋b)6…………………1 6 15 20 15 6 1 … …上表称为“杨辉三角”. 从上面的表示形式可以直观地看出“杨辉三角”的特点： （1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； （2）在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和. 由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数. 题型一 二项式系数的和与各项系数的和 【例1】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为（ ） A．211 B．210 C．29 D．28 【变式1-1】（2022春·陕西渭南·高二统考期末）若，则的值是（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-2】（2022秋·上海杨浦·高二校考期末）已知，则（ ） A．128 B．2187 C．78125 D．823543 【变式1-3】（2023·高三课时练习）若，x∈R，则的值为（ ）. A． B． C． D． 【变式1-4】（2022春·湖北·高二校联考阶段练习）已知，则___________． 题型二 二项式系数最值问题 【例2】（2022春·陕西宝鸡·高二统考期末）展开式中二项式系数最大的项是（ ） A． B． C．和 D．和 【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，且，则的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-2】（2022春·甘肃酒泉·高二统考期末）若展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ） A．160 B．60 C． D． 【变式2-3】（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）（多选）已知的展开式中第6项的二项式系数最大，则的值可以为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型三 项的系数最值问题 【例3】（2023·高二课时练习）已知在的二项展开式中，各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992，求该二项展开式中系数最大的项． 【变式3-1】（2022秋·上海·高二校考期末）在的二项展开式中，系数最大的项为______. 【变式3-2】