6.3.1 二项式定理（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

6.3.1 二项式定理 一、二项式定理及相关概念 1、定义：公式称为二项式定理 （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式 2、二项展开式的特点 （1）展开式共有项； （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数； （3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为。 3、对通项公式的两点说明 （1）通项公式是的展开式中的第项，这里； （2）二项式的第项和的展开式第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的与不能随便交换位置。 二、运用二项式定理的解题策略 1、正用：求形式简单的二项展开式时，可直接由二项式定理展开，展开式注意二项展开式的特点（即前一个字母是降幂，后一个字母是升幂）。 形如的展开式中会出现正负间隔的情况，对教繁杂的式子，先化简，再用二项式定理展开。 2、逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数。 【注意】逆用二项式定理时，如果项的系数是正负相间的，则原式是的形式。 三、求二项展开式中的特定项或特定项的系数的方法 求展开式中的特定项，主要考查的展开式的通项公式的运用，一般需要借助方程的思想求未知数，再将的值代回通项公式求解，注意的取值范围（） （1）求第项，此时令，即，代回通项公式求解； （2）求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解； （3）求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解； 【补充】求特定项的系数及相关参数值，可依据上述方法求解。 四、求形如展开式中特定项的求解方法 1、因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式的积，再利用二项式定理求解问题； 2、逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题； 3、组合知识法：把看成个的乘积，利用组合知识分析项的构成。 五、求形如的式子中与特定项相关的量 第一步：分别写出与的二项展开式的通项； 第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由与的展开式中的哪些项相乘得到（如可由常数项与项或项与项等相乘得到）； 第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。 题型一 二项展开式的正用 【例1】（2022春·吉林通化·高二统考期中）二项式的展开式中共有（ ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-1】（2022·高二课时练习）用二项式定理展开______． 【变式1-2】（2022·高二课时练习）求的展开式． 【变式1-3】（2022·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式： （1）； （2）． 题型二 二项展开式的逆用 【例2】（2022春·北京大兴·高二统考期末）化简等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022春·江苏南京·高二校考期中）化简的结果为（ ） A．x4 B． C． D． 【变式2-2】（2022·高二课时练习）已知，则的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-3】（2022春·山西朔州·高二校考阶段练习）（ ） A． B． C． D． 题型三 二项展开式中特定项问题 【例3】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）展开式中第5项的系数是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·高二课时练习）求的二项式展开式中的倒数第4项． 【变式3-2】（2023秋·河北石家庄·高二校联考期末）的展开式中的系数是（ ） A． B．840 C．210 D． 【变式3-23】（2022·高二单元测试）若展开式中含有常数项，则的最小值是______． 【变式3-4】（2022春·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知二项式的展开式中，第7项为常数项． （1）求n的值； （2）求展开式中所有有理项． 题型四 三项展开式中特定项问题 【例4】（2022春·河南郑州·高二统考期末）的展开式中的系数为（ ） A．90 B．180 C．270 D．360 【变式4-1】（2022春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考阶段练习）的展开式中，的系数为