可导函数的极值、最值、单调性讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

可导函数的单调性、极值与最值--高二数学单元复习 -------------------------------------------------知识点与方法总结----------------------------------------------------- 1、可导函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数； 判断（或证明）可导函数在内的单调性步骤： （1）求导函数； （2）判断在内的符号； （3）做出结论：为增函数，为减函数． 2、可导函数单调区间： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间． 3、可导函数的极值 （1）极值的概念 设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点（极值点是自变量的值）. 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； （2）求可导函数极值的步骤: ①求导数. ②求方程的根.。 ③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值（“ 左正右负” ）；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数函数f(x)在x＝x0处导数存在.在这个根处取得极小值（“ 左负右正” ）（极值指的是函数值）. 4、可导函数的最值 （1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求可导函数在上的最大值与最小值，可分两步进行. ①求在内的极值、、； ②将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值. （2）对于函数的最值问题，应注意以下几点： ①在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． ②在开区间内图像连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值； 若函数f(x)只有一个极值，则必为最值。若函数f(x)在闭区间[a,b]上递增，则，；若函数f(x)在闭区间[a,b]上递减，则，。 ---------------------------------------------------------题型归纳------------------------------------------------------【题模1】：函数的单调性 【题模2】：函数的单调区间 【题模3】：利用导数研究函数的图象 【题模4】：已知函数的单调性求参数的取值范围 【题模5】：讨论函数的单调性 【题模6】：函数的极值与最值 --------------------------------------------------------专题训练---------------------------------------------------------- 【题模1】：函数的单调性 【讲透例题】 1、函数的图象大致是( ) A． B．C．D． 2、函数在定义域内可导，其图像如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3、已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4、求证：函数在区间内是减函数． 【相似题练习】 1、已知导函数的下列信息： 当时，；当，或时，；当，或时， 试画出函数图像的大致形状． 2、已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【题模2】：函数的单调区间 【讲透例题】 1．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）； （2） y=x2﹣lnx （3）； 2、函数的单调递减区间是（ ） A． B． C．， D．， 【相似题练习】 1、已知，则函数的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 2、求函数的单调区间 【题模3】：利用导数研究函数的图象 【讲透例题】 1、 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是( ) 2、如右图：f（x）的导函数 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ ） 3、函数的图像为 【相似题练习】 1、已知函数与的图象如下图所示，则函数的递减区间为（ ） A