5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件(2)-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4三角函数的图象与性质 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2) 授课老师：某某某 学习目标及重难点 学习目标 1.理解正弦函数与余弦函数的单调性，会求函数的单调区间，进一步熟悉数形结合的思想方法 2.能利用三角函数单调性比较三角函数值的大小 3.会利用三角函数单调性求函数的最值(值域)，提高数学运算的核心素养 复习回顾 函数 y＝sin x(x∈R) y＝cos x (x∈R) 图像 周期 奇偶性 T=2π T=2π 奇函数 偶函数 函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)的最小正周期为：T＝ ． 新课引入 问题：类比以往对函数性质的研究，正弦函数、余弦函数的还有哪些性质？ 单调性 最值 定义域 值域 新课内容 探究1：单调性 y 问题1：观察正弦函数图像，找出在内的单调区间 正弦在区间_________上单调递增， 在 新课内容 y 问题2：正弦函数在R上的单调增区间只有一个吗？ 问题3：这些单调增区间能够用统一形式表示吗？ 正弦在区间上单调递增,在 正弦函数：在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1； 在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1. 6 新课内容 问题4：同理，观察余弦函数图像，你能找出在内的单调区间吗？ 推广到整个定义域呢？ y 余弦在区间上单调递增,在 余弦函数：在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1； 在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1. 7 新课内容 探究2：最大、最小值 问题5：(1)观察正弦函数图像，找出函数的最大值和最小值 (2)何时取得最大值？何时取得最小值？ y (1)当时，取得最大值1. 对于正弦函数 (2)当时， 例题探究 例1：下列函数有最大最小值吗？如果有请写出取最大最小值时x的集合，并求出最大、最小值． 使函数y＝cosx+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝2kπ+π，k∈Z}; 函数y＝cos x+1，x∈R的最大值是1＋1＝2 ；最小值是－1＋1＝0． 解：(1)使函数y＝cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝ cosx，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}； 例题探究 例1：下列函数有最大最小值吗？如果有请写出取最大最小值时x的集合，并求出最大、最小值． 解：(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合，就是使y＝sin z，z∈R取得最小值的z的集合z|z＝－+2kπ，k∈Z}． 由2x＝z＝－2kπ，得x＝－kπ ．所以，y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是|x＝－+kπ，k∈Z}. 同理,使函数y＝－3sin 2x, x∈R取得最小值的x的集合是|x＝+kπ, k∈Z}. 函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3． 练习巩固 变1： 解:(1)由x∈[0,]可得, x+∈[,], 函数y=cosx在区间[,]上单调递减,所以函数的值域为[,]. 当t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10]. (2)y=-4cosx+5,令t=cosx,则-1≤t≤1.y=-4t+5=, 当t=-1时,函数取得最大值10; 规律方法 求三角函数值域或最值的常用方法 (2)可化为y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C(A≠0)，最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求(换元法)． (1)可化为单一函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k，其最大值为|A|＋k，最小值－|A|＋k(其中A，ω，k，φ为常数，A≠0，ω≠0)． 例题探究 例2：不通过求值，比较下列各数的大小： 解：(1) 因为- 正弦函数y＝sinx在区间[- , 0]上单调递增，所以 > . (2) = = 因为0 , 且函数y＝cosx在区间[0, π]上单调递减， 所以＞，即 规律方法 比较三角函数值的大小的步骤 (1)依据诱导公式把几个三角函数值化为同名函数值； (2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调递增(减)区间； (3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论． 例题探究 例3:(1)求函数的单调递减区间; (2)求函数的单调递减区间; (3)函数的单调递增区间. 解：(1) 令 得 则 (2)由(1)知，函数在R上 因为所以函数在的单调递减区间为[]和 例题探究 例3:(1)求函数的单调递减区间; (2)求函数的单调递减区间; (3)函数的单调递