专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题-2022-2023学年八年级数学下册专题提优及章节测试卷（人教版）

专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题（原卷版） 第一部分 典例剖析 类型一 方程思想 （1）单勾股列方程 1．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行） 2．（2021春•全南县期中）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD＝3，求AC的长． 3．（2022秋•运城期末）如图，，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 2、 双勾股方程 4．（2022秋•仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）． （1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝　 　； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝ 　； （3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值． 5．（2020秋•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， （1）求∠ECF的度数； （2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 6．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合． （1）填空：△ADC是　 　三角形； （2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长； （3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明． 类型二 数形结合思想 7．（2022•锡山区）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（　　） A． B． C．5 D． 8．（2022春•雁塔区校级期末）为比较与的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为与，则由勾股定理可求得其斜边长为．根据“三角形三边关系”，可得．小亮的这一做法体现的数学思想是（　　） A．分类讨论思想 B．方程思想 C．类比思想 D．数形结合思想 9．（2019秋•海州区校级月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． （1）探究的几何意义：如图①，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO，因此，的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离OM． ①的几何意义可以理解为点N1　　（填写坐标）与点O（0，0）之间的距离N1O； ②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2为　　． （2）探究的几何意义：如图②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以AB，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离． （3）探究的几何意义：请仿照探究二（2）的方法，在图③中画出图形，那么的几何意义可以理解为点C　 　（填写坐标）与点D（x，y）之间的距离． （4）拓展应用： ①的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F　 　（填写坐标）的距离之和． ②的最小值为　　（直接写出结果） 类型三 分类讨论思想 10．（2019春•自贡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为，这样的点P有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（如皋市期末）已知∠MAN＝30°，点B在射线AN上，点C在射线AM上，且AB＝12． （1）若△ABC是直角三角形，求AC的长