专题09 勾股定理中的最值问题突破技巧-2022-2023学年八年级数学下册专题提优及章节测试卷（人教版）

专题9 勾股定理中的最值问题突破技巧（原卷版） 类型一 求一条线段的最小值 技巧1 利用垂线段最短求最值 典例1（2022•路北区）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（　　） A．5 B．6 C．4 D．4.8 变式训练 1．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 技巧2 转化为其他线段，再根据垂线段最短 典例2（2022•苍溪县模拟）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式训练 1．（2022春•思明区校级月考）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3． （1）求BC的长． （2） 如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF，求EF的最小值． 技巧3 利用二次函数的性质或配方法求最小值（数形结合）． 典例3 （2021秋•昌江区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，点P为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且P到三角形三边的距离和为7，则CP的最小值为 　 ． 变式训练 1．（2022春•仓山区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，a﹣1），点B（b+3，b），连接AB，则AB的最小值是（　　） A．1 B． C．2 D．3 技巧4 一点与直角顶点相连时，再取斜边中点，三点共线时求的最小值（一箭穿心法） 典例4（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 变式训练 1．（2021秋•西城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为 　 　． 技巧5用定长减去最大值求最小值 典例5（2022秋•乳山市期中）如图，将一根长20cm的铅笔放入底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为xcm，则x的最小值是（　　） A．5 B．7 C．12 D．13 变式训练 1．（2022春•绵阳期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（　　） A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm 类型二 求两条线段和的最小值 技巧1 将军饮马模型用轴对称法求最值 典例6（2022春•龙华区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于AC的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线EF上有一个动点P，则线段PC+PD的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 变式训练 1．（2022春•开福区校级月考）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处 （1）求CE的长； （2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 技巧2 构造全等，利用三角形两边之和大于第三边，在三点共线时，求出最小值 典例7（2022春•上虞区期末）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连结AQ，CP，则AQ+CP的最小值为（　　） A． B． C． D．6 变式训练 1．（2022秋•武汉月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 　　． 技巧3 两个动点的时候，轴对称法与垂线段最短结合求最值 典例8（2021秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BH平分∠ABC，点P，D分别是BH和AB上的任意一点，设PA+PD＝m． （1）连接CD交BH于点E，则m　 　CD（填表示相等或大小关系的符号）； （2）若BA＝BC＝5，AC＝6，BH＝4，则m的最小值是 　　． 类型三 立体图形上求最短路径 技巧1 化曲为直法求最小值 典例9（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆