第四章 三角形 同步练习 2022—2023学年北师大版数学七年级下册

第四章　三角形 一、认识三角形 1、三角形的有关概念 例1 如图4-1-1.△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点.首先连接BA1，图中出现了3 个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6 个不同的三角形…… （1） 完成下表∶ 连接个数 出现三角形个数 （2） 若出现了45个三角形，则共连接了多少个点? （3） 若一直连接到An，则图中共有 个三角形. 2、三角形三个内角之间的关系 例2 根据下列所给条件，判断△ABC 的形状 (1) ∠A=45°,∠B=65°,∠C=70° (2) ∠C=110° (3) ∠C=90° (4)AB=BC=3,AC=4. 3、 三角形的三边关系 例3 以下列各组线段的长为边长，能构成三角形的是（ ） A.2,3,5 B.3,4,5 C.3,5,10 D.4,4,8 4、三角形的高、中线和角平分线 例4如图 4-1-4.在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点。延长 BG交AC于E，F为AB上一点。CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ） ①AD是△ABE的角平分线; ②BE 是△ABD的边AD上的中线; ③CH是△ACD的边AD上的高; ④AH是△ACF的角平分线和高. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 经典题型：三角形的中线与面积 例 如图4-1-5 所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为 BC，AD、CE的中点，且△ABC的面积是4 cm²，则阴影部分的面积等于（ ） A.2 cm² B.1cm² C.0.25cm² D.0.5cm² 二、图形的全等 1、全等图形 例1 下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ） 2、 全等三角形 例2 如图4-2-2，已知△ABE≌△ACD. （1）如果 BE=6，DE=2，求 BC的长； （2）如果∠BAC=75°，∠BAD=30°，求∠DAE的度数。 经典题型：利用全等三角形的性质解决全等变换问题 例 如图4-2-3，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上的点C’处，若∠C’EB=40°，求∠EDC’的度数。 3、 探索三角形全等的条件 1、全等三角形的判定 例1 如图4-3-1，C是BF的中点，AB=DC，AC=DF。求证：△ABC≌△DCF. 例2如图4-3-2，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。 例3如图4-3-3，DE⊥AB,CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，试说明：AC∥BD。 例4如图4-3-4.在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接 CE，BF，添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并说明理由.你添加的条件是 （不添加辅助线） 2、三角形的稳定性 例5如图4-3-5，为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，从数学的角度看， 这样做的理由是利用了三角形的 。 经典题型 1、 利用三角形全等证明线段或角相等 例1 如图4-3-6，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC的延长线于点F，求证：DE=DF。 2、 开放性问题 例2 如图4-3-8，点B，E，C，F在同一直线上，能否由AB// DF，BE=FC来证明AC//DE?如果能，请给出证明；如果能，请从下列三个条件中再选择一个合适的条件，使 AC// DE 成立，并说明理由。供选择的三个条件∶①∠A=∠D;②AB=DF;③AC=DE. 四、用尺规作三角形 例 小明教材上的三角形被墨迹污染了一部分，如图4-4-8，他想在作业本上画一个与教材上完全一样的三角形，他该怎么办? 你能帮助他画出来吗? 经典题型：判断能否作出三角形 作一个三角形等于已知三角形的依据有 SSS，ASA，AAS，SAS，由这四种依据完成即可。 例 利用尺规作图不能作出唯一三角形的是（ ） A. 已知三边 B.已知两边及夹角 C.已知两角及夹边 D.已知三个角 4、 利用三角形全等测距离 例 如图4-5-1，传说在19世纪初，一位将军率领部队在一河边与敌军激战，为使炮弹准确地落在河对岸的敌军阵地，将军站在河这岸的点B处，将帽檐压低，使视线沿着帽檐恰好落在河对岸的边线上，然后他向后退（保证 B'、B、C在一条直线上），一直退到视线落在河这岸的边线上为止，这时，他后退的距离就等于河宽，这是为什么?请说明理由. 经典题型：实际应用题 例 如图4-5-2所示，某湖泊岸边有A、B两棵大树，计划在两棵大树间架一条电话线路，为了