5.3.1函数的单调性 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数的单调性 高中数学人教A版选择性必修第二册单元教学设计 引入新课 如何探究函数的单调性？ 答案：观察函数的图象；函数单调性的定义；利用导数的正负. 问题1 2 课堂探究 问题2 如何利用导数研究形如的函数的单调性？ 答案：在定义域范围内，通过求导得到导函数，再通过求解不等式，得到导数值大于0或者小于0时的取值，从而利用函数单调性与导数的关系，判断原函数的单调性. 3 课堂探究 例1 求函数的单调区间. 解： 函数的定义域为R. 对求导数，得. 令，解得或. 所以， 在和上单调递增，在上单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 4 课堂探究 问题2 如何利用导数研究形如的函数的单调性？ 小结： 一般情况下，判断函数的单调性的步骤： 求函数的定义域； 求导数的零点； 用的零点将定义域划分为若干区间，列表给出在各区间上的正负，得函数在定义域上的单调性. 5 课堂探究 追问 你能体会相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究函数单调性的特点与优势吗？ 答案：利用函数单调性的定义：函数的定义域为R. 且，则 ，不便讨论其正负. 6 知识应用 （1） 因为 所以 所以，函数在R上单调递增. 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 例2 7 知识应用 （2） 因为 所以 所以，函数在上单调递减. 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 例2 8 知识应用 （3） 因为， 所以 所以，函数在区间和上单调递增 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 例2 9 课堂探究 问题3 如何探究函数增减的快慢与导数有什么关系？ 答案：经历观察猜想→特例验证→推理证明→解释说明→得到结论的过程. 10 课堂探究 追问1 观察对数函数在区间上图象，导函数的变化与原函数的变化有什么关系？ 答案：对数函数的导数为， 所以在上单调递增. 当越来越大时，越来越小， 函数递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”. 11 课堂探究 追问1 观察对数函数在区间上图象，导函数的变化与原函数的变化有什么关系？ 猜想： 若函数在某一范围内导数的绝对值较小，则函数在此范围内变化得较慢，这时函数的图象就比较 “平缓”； 反之，若函数在某一范围内导数的绝对值较大，则函数在此范围内变化得较快，这时函数的图象就比较 “陡峭” 12 课堂探究 追问2 观察幂函数在区间上的图象，能否验证这一结论？ 答案： 幂函数的导数为 ， 所以在区间上单调递增． 当越来越大时，越来越大， 函数递增得越来越快，图象上升得越来越 “陡峭”. 13 课堂探究 追问3 如何说明导数与函数增减的快慢之间的关系？ 答案： 导数的几何意义为函数的图象在点处切线的斜率； 因此，如果导数在某一范围内的绝对值较大，意味着函数图象在这一范围内各点处切线的斜率都较大，而由于在各点附近，曲线可由该点处的切线近似代替，所以呈现的函数图象就比较“陡峭”. 14 知识应用 设， 两个函数的图象如图所示． 判断的图象与之间的对应关系. 例3 解：因为 当时， 当时，当时， 所以，在上都是增函数. 在区间上，的图象比的图象要“陡峭”； 在区间上，图象比图象要“平缓”； 所以，，的图象依次是. 15 $