5.3.1导数与函数的单调性 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数的单调性 高中数学人教A版选择性必修第二册单元教学设计 引入新课 a b t v O (2) a b t h O (1) 图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间t变化的函数的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间变化的函数的图象,，是函数的零点. 答案：从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，即单调递增. 相应地，. 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即单调递减. . 问题1 2 引入新课 追问 能否由的正负来判断函数的单调性呢？ 猜想： 在区间上，，单调递增；在区间上，，单调递减. a b t v O (2) a b t h O (1) 3 课堂探究 (1) 在上，单调递增， . 问题2 观察下面一些函数的图象，你能说明导数的正负与函数单调性的关系吗？ (1) (2) (3) (4) 4 课堂探究 (2)在上，单调递减，; 在上，单调递增， . 问题2 观察下面一些函数的图象，你能说明导数的正负与函数单调性的关系吗？ (1) (2) (3) (4) 5 课堂探究 (3) 在上，单调递增，; 在上， 单调递增， . 问题2 观察下面一些函数的图象，你能说明导数的正负与函数单调性的关系吗？ (1) (2) (3) (4) 6 课堂探究 (4) 在上，单调递减，; 在上， 单调递减， . 问题2 观察下面一些函数的图象，你能说明导数的正负与函数单调性的关系吗？ (1) (2) (3) (4) 7 探究新知 问题3 为什么函数的单调性和导数的正负之间有这样的关系？ 导数表示函数的图象在点处切线的斜率，可以发现： 答案： 在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数图象也是上升的，函数在附近单调递增. 在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数图象也是下降的，函数在附近单调递减. 8 探究新知 问题3 为什么函数的单调性和导数的正负之间有这样的关系？ 导数表示函数的图象在点处切线的斜率，可以发现： 结论： 函数的单调性与导函数的正负之间的关系： 在某区间上，如果，那么在此区间上单调递增； 在某区间上，如果，那么在此区间上单调递减. 9 探究新知 追问1 能否说明函数的平均变化率的几何意义与的正负是什么关系？ 答案：任取两点， ，则平均变化率为，表示过两点割线的斜率，如果在一个区间内任意两点连成割线的斜率，则区间上任意的，，当时，都有，那么从函数单调性的定义说明函数在该区间上单调递增. 10 探究新知 追问1 能否说明函数的平均变化率的几何意义与的正负是什么关系？ 答案：从图象上直观发现，在该区间上，对于每条割线，总有一条切线和它平行，因此，如果在某区间上导数大于0，则在此区间上任意两点连成割线的斜率一定大于0，从而说明原函数在这个区间上单调递增. 同理可论证在某区间上，如果，那么函数在此区间上单调递减. 11 探究新知 追问2 如果函数在区间上恒有，那么函数 有什么特性呢？ 答案：此时函数是常值函数. 12 知识应用 已知导函数的信息如下： 当时，； 当，或时，； 当，或时，. 试画出函数图象的大致形状. 例 解：当时，，可知在区间上单调递增； 当，或时，，可知在区间和上单调递减； 当，或时，. 综上，函数图象的大致形状如图所示. 13 $