3.2 最大公因数和最小公数（同步重难点讲义）-2022-2023学年五年级数学下册学霸课堂笔记（苏教版）

苏教版数学五年级下册 第三单元 因数与倍数 第2课时-最大公因数和最小公数 1. 公因数和最大公因数的意义 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。 2. 公倍数和最小公倍数的意义 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。 3. 求两个数的最大公因数的方法：（1）列举法；（2）筛选法；（3）分解质因数法；（4）短除法。 4. 求两个数的最小公倍数的方法：（1）列举法；（2）筛选法；（3）短除法。 5. 求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况 （1）成倍数关系的两个数的最大公因数是其中的较小数，最小公倍数是其中的较大的数。 （2）只有公因数1的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。 【例1】写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 18和27 14和9 75和25 【分析】最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解；通常可先把每个分数中的分子分母分解质因数，再把它们公有的质因数相乘，有倍数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，最小公倍数是较大的数；如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，由此解决问题即可。 【解答】解：18＝2×3×3 27＝3×3×3 18和27的最大公因数是3×3＝9 18和27的最小公倍数是2×3×3×3＝54； 14和9是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是14×9＝126； 75和25是倍数关系，最大公因数是25，最小公倍数是75。 【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，有倍数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1；数字大的可以用短除解答。 【例2】一个长方形的长和宽是两个连续的合数，这个长方形的面积是72平方厘米，它的周长是多少厘米？ 【分析】首先把72分解质因数，然后根据这两个数是连续的合数求出长和宽，再根据长方形的周长公式：C＝（a+b）×2，把数据代入公式解答。 【解答】解：72＝8×9 8和9都是合数， （9+18）×2 ＝17×2 ＝34（厘米） 答：这个长方形的周长是34厘米。 故答案为：34厘米。 【点评】此题主要考查长方形的周长公式的灵活运用，关键是求出长方形的长和宽。 【例3】先从下面的数中圈出合数，再把它们分解质因数。 16、59、38、43、87、91、97 【分析】除了1和它本身还有其它的因数，这样的数是合数，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【解答】解： 16＝2×2×2×2 38＝2×19 87＝3×29 91＝7×13 【点评】熟练掌握合数的特征以及合数分解质因数的方法是解题的关键。 【例4】妈妈买来12个苹果和13个梨，分给小刚和小敏，他俩分得的苹果能一样多吗？分得的梨呢？为什么？ 【分析】本题是两个人平均分东西，那么这个数一定是2的倍数，判断一个数是不是2的倍数看看可以这个数能被2整除吗？根据题意苹果12个，12可以被2整除，因此苹果可以分一样多；梨有13个，13不是2的倍数，因此分的不一样多。 【解答】解：苹果：12÷2＝6（个） 梨：13÷2＝6个…1（个） 答：苹果可以分的一样多，梨不可以。 【点评】判断2的倍数特征还可以看看这些数是不是偶数也可以。 【例5】把下面的数按要求填入框内。 1、2、17、29、36、37、41、57、61、78、84、100 【分析】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，个位上是0、2、4、6、8的数是偶数，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数的数是合数，据此解答。 【解答】解： 【点评】解答本题需熟练掌握奇数、偶数、质数及合数的意义。 【例6】猜猜我是谁。 【分析】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 【解答】解：12＝2×2×3 18＝2×3×3 所以12和18的最大公因数是2×3＝6； 既是12的倍数又是12的因数的数是12。 【点评】明确求两个数最大公因数的方法和一个数的最大因数和最小倍数都是它本身是解题的关键。 【例7】一盒糖果，无论每次数5粒还是6粒，都能正好数完．把这盒糖果平均分给10个小朋友，能正好分完吗？ 【分析】由于每次数5粒还是6粒，都能正好数完．说明这盒糖的粒数是5和6的公倍数，5和6的最小公倍数是30，30又是10的倍数，所以能正好分完． 【解答】解：根据分析知：这盒糖的粒数是5和6的公倍数，5和6的最小公倍数是30，30又