6.1 平方根、立方根 讲义 2022—2023学年沪科版数学七年级下册

年级 七年级 教学内容 1、平方根、立方根 教学过程 【知识点一：平方根与算术平方根有关概念】 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果，那么x叫做a的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示． （6） <—> a是x的平方 x的平方是a x是a的平方根 a的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平 方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式 (x≥0)中，规定。 （2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a倍，算术平方根扩大（或缩小）倍. （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5） (x≥0) <—> a是x的平方 x的平方是a x是a的算术平方根 a的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 （0） ；注意的双重非负性： -（<0） 0 （7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 【典例分析】 例1．下列说法正确的是( ) A．－5是25的平方根 B．25的平方根是5 C．－5是（－5）2的算术平方根 D．±5是（－5）2的算术平方根 例2．下列各等式中，正确的是（　　） A．＝±4 B．±＝4 C．＝﹣5 D． 练习1．计算的平方根为（　　）A． B． C．4 D． 练习2．9的平方根是( ) A． B． C． D． 例3． 的算术平方根是( ) A． B． C． D． 练习1． 的算术平方根是 _____．练习2．16的算术平方根是 。 3、如果a2=(-3)2，那么a等于（ ） A．3 B．-3 C．9 D．±3 例4、求下列x的值： (1)(x＋1)2＝9； (2)3(x＋1)2＝48； (3)25(x＋2)2－36＝0. 例5． 的平方根是_________；的算术平方根是_________. 练习1．若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______ 练习2．已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值. 【知识点二：立方根有关概念】 3、立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根 （2）一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 （3） 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。 （4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性， 求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。 （5） <—> a是x的立方 x的立方是a x是a的立方根 a的立方根是x （6），这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 【典例分析】 例1．64的立方根是（ ）A．4 B．±4 C．8 D．±8 练习1．下列说法中，不正确的是（　　） A．8的立方根是2 B．﹣8的立方根是﹣2 C．0的立方根是0 D．64的立方根是±4 练习2． 的立方根是__________． 例2．已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根，b的立方根是﹣2，c算术平方根是其本身，