第一章空间向量与立体几何单元检测-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1章 空间向量与立体几何单元检测 一、单选题 1．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） A． B． C． D． 3．棱长为的正四面体中，则等于（    ） A． B． C． D． 4．在三维空间中，三个非零向量满足，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形 5．如图，在三棱锥中，点分别在棱则（    ） A． B． C． D． 6．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．已知向量，且与互相平行，则的值（    ） A． B． C． D．2 8．如图，在正方体中，是底面正方形的中心，点为的中点，点在上，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（    ） A．存在，使得 B．也构成空间的一个基底 C．若，则直线与异面 D．若，则，，，四点共面 10．如图，在正方体中，分别是的中点，分别在线段上，且满足，，设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．线段上存在点，使平面//平面 C．当时，直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥的外接球半径的最大值为 12．已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 13．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则m=________. 14．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________． 15．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=8cm.则这个二面角的余弦值为_____________. 16．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号） ①平面                 ②三棱锥的体积的最大值为 ③存在点P，使得与平面所成的角为     ④存在点P，使得与垂直 四、解答题 17．如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，． (1)已知P是的中点，用、、表示、、； (2)已知P在线段上，且，用、、表示． 18．如图，在平行六面体中，，且， (1)试用表示向量. (2)若，，，求的长. 19．（1）已知向量. ①计算和 ②求. （2）已知向量. ①若，求实数； ②若，求实数. 20．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，，点E在CC1上且． (1)求平面BED的一个法向量； (2)证明：A1C⊥平面BED． 21．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点. (1)如果与平面所成的线面角为，求证：平面. (2)当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 22．如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，E是棱的中点． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 2．C 3．A 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．BCD 10．AD 11．ACD 12．ABD 13． 14． 15． 16．②③ 17．（1）因为M、N、P分别是、BC、的中点 所以，； ； ； （2）因为，所以 所以． 18．（1） （2） 即，∴. 19．（1）①向量， ，， ②，即 ，， （2）因为向量， ， ①， ，解得， ②， ，解得. 20．（1）如图所示： 以为坐标原点，射线分别为轴的 正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系：； 依题知，，，， ，， 则有，，， 设平面BED的一个法向量为：， 则有，即， 令，解得：，， 故平面BED的一个法向量为：； （2）由（1）知， 平面BED的一个法向量为：， 又， 所以与平面BED的一个法向量共线， 即可证明：A1C⊥平面BED. 21．（1）证明：平面，平面， 为与平面平面所成的线面角， ∵与平面所成的线面角为 ， ∵为的中点， ， ∵底面是边长为的正方形，即 ∵平面， 平面， 又∵平面， ∴， ∵平面， 平面 （2）解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系， 设，则， 设