7.1复数的概念 讲义——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1复数的概念 一、复数的概念 1、问题导入 【问题1】在实数集R中无解,你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ 预设回答：找出新的数，使得这个数的平方加1等于0 【问题2】：要进行数系的再一次扩充要解决什么问题？怎么解决？ 伟大的数学家欧拉引入一个新数,叫做虚数单位。 并规定且可以与实数进行四则运算，进行运算时加法和乘法运算律仍成立。 【问题3】：现在大家是不是可以解出方程呢？ 预设回答：， 2、(1)复数 ①定义：形如a＋bi的数叫作复数,其中a,b∈R，i叫作虚数单位，a叫作复数的实部,b叫作复数的虚部 ②表示方法：复数通常用字母z表示,即复数z＝a＋bi(a,b∈R). (2)复数集 ①定义：全体复数组成的集合叫作复数集. ②表示：通常用大写字母C表示. ③实数集R是复数集C的真子集，即R C 二、复数的分类 复数(a＋bi,a,b∈R) 三、两个复数相等 a＋bi＝c＋di当且仅当（注意：虚数不能比较大小） 【例1】请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数,还是纯虚数. ①2＋3i； ②－3＋i； ③＋i； ④π； ⑤－i； ⑥0. 【例2】下列复数中,满足方程x2+10=0的是 (　 　) A.±10 B.± C.±i D.±10i 【例3】，为虚数单位，为实数． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当z为实数时，求m的值； 【例4】已知x2－y2＋2xyi＝2i,求实数x、y的值. 【例5】已知，，且z1=z2,则实数m=　　,n=　　. 【例6】已知M＝{1,(m2－2m)＋(m2＋m－2)i},P＝{－1,1,4i},若M∪P＝P,求实数m的值 四、复平面 复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平面内的 一个点Z来表示，如图所示，点Z的横坐标是a， 纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示． 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复 平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．显然，实 轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都 表示纯虚数． 每一个复数在复平面内都有唯一的一个点与它对应．反过来，复平面内的每一个点都有唯一的一个复数与它对应．复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的 (1)复数z＝a＋bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b)； (2)复数z＝a＋bi(a,b∈R) 平面向量＝(a,b). (3)复数的模：复数z＝a＋bi(a,b∈R)对应的向量为,则的模叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,且 |z|＝. 【例7】在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点：(1)在虚轴上，求实数m的取值范围. (2)在第二象限,求实数m的取值范围 【例8】已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|＝2,则复数z等于(　　) A.－1＋i B.1＋i C.－1＋i或1＋i D.－2＋i 【例9】设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z. 【例10】已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围. 【例11】在复平面内作出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系． 【例12】下列命题中： ①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数； ②若(z1－z2)2＋(z3－z2)2＝0，则z1＝z2＝z3； ③x＋yi＝1⇔x＝y＝1； 其中正确的命题个数是(　　 ) A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3 课后练习 1．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为(　 　) A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4 2．复数(2x2＋5x＋2)＋(x2＋x－2)i为虚数，则实数x满足(　 　) A．x＝－ B．x＝－2或x＝－ C．x≠－2 D．x≠1且x≠－2 3．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i　(a、b∈R)为实数的充要条件是(　　 ) A．a≤0 B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b D．a>0且a＝|b| 4．若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝a＋bi的模等于(　　 ) A．1　　　 B．2　　　 C．　　　 D．5 5．以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是(　 　) A．3－3i B．3＋i C．－＋i D．＋i 6．已知复数z＝a－bi(a，b∈R，b<0)，满足|z|＝1，