7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念 人教版A版高中数学必修第二册 1 复习回顾 回顾数系的扩充过程: 3-5=？ 3÷5=？ 边长为1的正方形的对角线长 ？ ？ 解方程x2+1=0 引入一个新的数集 随着社会发展，数系在不断扩充． 同时，数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． 2 新知探究（一） 问题1：能否求出 的解？ 问题2：能否求出 的解？ 追问：我们知道，像 这些方程在实数集上无解，那么，能否类比从自然数集到实数集的扩充过程，引进新的数，使方程有解？ 我们设想引入一个新数i，使得x=i 是方程x2+1=0的解，此时 i2=-1 . i是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary (想象的，假设的)一词的词头，i2=i·i. 3 新知探究（一） 问题3：引入新数i后，我们希望i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律，可得什么结论？ ①把实数与相乘，结果记作 ②把实数与相加，结果记作 这样一来，所有实数以及都可以写成（）的形式，从而所有的数都在扩充后的新数集中. 4 新知探究（一） 我们把形如a+bi (a, b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合C={a+bi |a, b∈R}叫做复数集. 1. 复数的概念 复数通常用字母z表示，即z=a+bi (a, b∈R)，以后不作特殊说明时，复数z=a+bi 中都有a, b∈R，其中把实数a叫做复数z的实部，把实数b叫做复数z的虚部. 2. 复数的代数形式 问题4：复数 是实数的充要条件是什么？ 5 新知探究（一） 问题4：复数 是实数的充要条件是什么？ 追问1：复数 的充要条件是什么？ 由特殊到一般 3. 复数相等 在复数集C={a+bi |a, b∈R}中任取两个数a+bi，c+di (a,b,c,d∈R)，我们规定： 追问2：复数比较大小吗？ 只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则，不能比较大小. 6 新知探究（一） 问题5：进一步地，你能对复数 进行分类吗？ 4. 复数的分类 7 典例分析 例1 当实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 8 典例分析 例2 若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值. 9 小试牛刀 1. 已知复数(m2- 5m+6)+ (m2 - 3m)i(m∈R)是纯虚数，其中i是虛数单位，则实数m的值是( ) A. 3 B. 2 C. 2或3 D. 0或2或3 2. 若z=a+(a2-1)i(a∈R， i为虚数单位)为实数，则a的值为( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. 1或-1 B D 10 练习 － － － － － － － － － － － － － － 说出下列复数的实部和虚部： 练习 － － － － － － － － － － － － － － 2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？ 3. 求满足下列条件的实数x，y的值. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 1. 复数：z＝a＋bi(a，b∈R) 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系： 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 课堂小结 (1) 复数的分类：实数，虚数，纯虚数； (2) 复数的相等关系. 课后作业： 1、必做题：课本73页 习题7.1 A组 1-3题 2、选做题： 类比数的几何意义，分析复数有几何意义吗？ 作业设计 15 感谢您的聆听 The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation and make it into a film to be used in a wider field 16 说 课 7.1.1数系的扩充和复数的概念 教学分析 Teaching analysis 教学方法 Teaching method 教学过程 Teaching process 教学反思 Teaching reflection 01 02 03 04 目 录 Contents 教学分析 Teaching analysis 教学方法 Teaching method 教学过程 Teaching process 教学反思 Teaching reflection 01 02 03 04 教材分析 Textbook analysis 第七章第一节第1课时 普通高中人教版《数学》必修二 教材分析 Textbook analysis 体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用。发展了学生的创新思维能力。 本节课数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,同时是数学产生、发展的客观需求,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。 学情分析 Study analysis 认知基础 已经经历了从自然数集到实数集的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识。 学生具备一定的类比能力。 认知障碍 对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数运算的理解会出现一些困难. 教学目标分析 Core literacy and goal analysis 知识技能目标 能力素养目标 了解数系扩充的过程及引入复数的必要性。 掌握复数的有关概念和代数形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件。 培养数学抽象和逻辑推理的核心素养 重难点分析 Great problem analysis 教学重点 教学难点 1.虚数单位的引入。 2.复数的概念，复数的分类，复数相等的充要条件。 1.复数集扩充过程的数学基本思想。 2.数集扩展的必要性，复数概念的引入。 教学方法 Teaching method 教学分析 Teaching analysis 教学过程 Teaching process 教学反思 Teaching reflection 02 01 03 04 教学方法 Teaching method 教法：启发引导法，问题探究法。 学法：合作探究，实践演练。 教学过程 Teaching process 教学分析 Teaching analysis 教学反思 Teaching reflection 03 01 04 教学方法 Teaching method 02 探究 新知 引 结 巩 探 回顾 旧知 课堂 巩固 课堂 小结 问题 引入 顾 顾 引 探 巩 回顾旧知 顾 设计意图 结 通过回顾，为引入本节新课做好铺垫。梳理已经学习过的数集，抓住知识的“关联点”，使学生了解数的产生及数系的不断扩充。 引 问题引入 顾 引 探 巩 结 设计意图 1、通过启发式提问，引入虚数的概念，从而数集得到扩充，再通过课堂活动，引导学生归纳复数的代数形式。 2、通过问题让学生理解复数集与以前学过的数集之间的关系，深化学生对复数集的理解，将新知与旧知联系起来，完善已有的知识结构。 探 探究新知 设计意图 顾 引 探 巩 结 1、归纳出复数的代数形式和复数集，让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用，以及数学形式化、符号化的过程，提升学生归纳总结能力。 2、通过问题串的方式，对复数集的概念进行深化，对复数、虚数、纯虚数的概念以及相互之间的关系用韦恩图表示，更直观地在学生的脑海中形成概念。 顾 引 探 巩 结 巩 课堂巩固 设计意图 1、立足于教材，通过例题巩固复数的概念和分类标准，以及复数相等的含义，完善认知结构，提升学生解决问题的能力。 2、引入新的数学对象时，为了保证对象的确定性，就要明确两个元素相等的含义，让学生具有这种意识。 顾 引 探 巩 结 巩 课堂巩固 设计意图 对本课时学习目标的综合检测，学生要从复数的分类、复数相等出发，解决相关问题，并对复数的分类要进行适当讨论。让学生在解决问题的过程中内化复数的相关概念，起到及时巩固、学以致用的功效。 结 课堂小结 设计意图 把握课程内容，帮助学生理清知识结构，对本节课的学习有一个全面、系统的认识，培养学生的梳理归纳能力。 顾 引 探 巩 结 作业分为两种形式，体现作业的 巩固性和发展性原则。 教学反思 Teaching reflection 教学分析 Teaching analysis 04 01 教学方法 Teaching method 02 教学过程 Teaching process 03 优点 不足 教学反思 Teaching reflection 引入虚数单位过于抽象。学生理解不够。 思考： 通过模拟授课，学生能顺利完成问题探究并能进行归纳总结和简单应用，基本达到预期教学目标。 学生课下认真完成作业，巩固所学。教师下节课前再次对复数相关概念进行回顾。 $$