上海市金山中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷

上海市金山中学2021-2022学年高二上期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知点在幂函数的图像上，则幂函数　　． 2.设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则　　． 3.直线与直线的夹角为　　（用反三角表示）． 4.以双曲线的右焦点为圆心，且与两条渐近线相切的圆的标准方程是　　． 5.已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围为　　． 6.已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为　　． 7.将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是　　． 8.直线和平面所成角为，则直线和平面内任意直线所成角的取值范围是　　． 9.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为　　． 10.已知双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，过的直线交抛物线于、两点，为坐标原点，若向量与的夹角为，则的面积为　　． 11.在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为不全为，类似地，在空间直角坐标系中，平面的一般式方程为不全为，则以坐标原点为球心，且与平面相切的球的表面积为　　． 12.如图，是抛物线上的动点，点，在轴上，圆内切于，则面积的最小值为　　． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.平面外的两条直线、，且，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14.设函数，则的最小正周期　　 A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 15.已知，，为坐标原点，动点满足，其中、，且，则动点的轨迹是　　 A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的双曲线 D．焦距为的双曲线 16. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，且欧拉线方程为，则的重心到垂心的距离为　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角的大小． 18.在中，三边满足． （1）求的大小； （2）求的最大值． 19.已知椭圆过点，其左、右焦点分别为、，且． （1）求椭圆的方程； （2）若、是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由． 20.已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形． （1）若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值； （2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积； （3）若该三棱锥的底面边长为1，四个顶点在同一个球面上，、分别是，的中点，且，求此球的体积． 21.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．求证：点在定直线上，并求出直线的方程； （3）若满足（2）的直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市金山中学2021-2022学年高二上期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知点在幂函数的图像上，则幂函数　　． 【解析】设，则，所以，所以. 2.设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则　　． 【解析】， 若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则，解得. 3.直线与直线的夹角为　　（用反三角表示）． 【解析】因为直线的斜率为， 直线的斜率为， 设两条直线的夹角为，则， 因为，所以． 4.以双曲线的右焦点为圆心，且与两条渐近线相切的圆的标准方程是　　． 【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程是， 所以圆心，半径，所以圆的方程为． 5.已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围为　　． 【解析】由得，由得， 由题意得或，所以或. 6.已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为　　． 【解析】由题意得原点到直线的距离，解得. 7.将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角