2023年九年级数学中考专题：猜想证明压轴题

2023年九年级数学中考专题：猜想证明压轴题 1．如图所示，点在内，点，分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．          图1                      图2 (1)猜想是哪种类型的三角形，并说明理由． (2)的周长与的长有什么关系，请说明理由． (3)拓展：若，，点在内，点，分别是点关于，的对称点，点，分别是射线、上的一点，连接、和．求周长的最小值．（用含的代数式表示） 2．探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______； (2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 3．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 (1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________． 【类比探究】 (2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值． 【拓展延伸】 (3)如图③，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________． 4．如图1和图2，点在数轴上对应的数为，过原点在数轴的上方作射线，且．点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，点，都停止运动．以点为圆心，为半径的半圆与数轴正半轴交于点，与射线交于点，连接，设运动时间为秒，点在数轴上对应的数为． (1)用含的式子表示的长为，当点与点重合时，__________； (2)若与半圆相切，求； (3)如图2，当时，半圆与的另一个交点为，猜想线段与的数量关系，并说理； (4)若半圆与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围． 5．综合与实践 【知识呈现】 两块等腰直角三角板和如图摆放，其中，是的中点，是的中点，是的中点． (1)如图，若点，分别在，的延长线上，通过观察和测量，猜想和的数量关系为______，位置关系为______； 【拓展巩固】 (2)如图，若将三角板绕着点顺时针旋转至在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【探究提升】 (3)如图，将图中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图，中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明． 6．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)如图②，将直角三角板绕点O逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 7．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【阅读理解】如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线的取值范围是______． (2)【理解与应用】如图2，在中，，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 8．【问题初探】 （1）如图1，在中，，，点D是上一点，连结，以为一边作，使，，连结，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在中，，，点M是上一点，点D是上一点，连结，以为一边作，使，，连结，则______（直接写出答案，不写过程）； 【方法迁移】 （3）如图3，在是等边三角形，点D是上一点，连结，以为一边作等边三角形，连结，则，，之间有怎样的数量关系？答案：____________（直接写出答案，不写过程）； 【拓展创新】 （4）如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连结 ，以为一边作等边三角形，连结．猜想的度数，并说明理由． 9．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称