1.2空间向量基本定理（第一课时）学习单——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

学习任务单 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 1.2空间向量基本定理（第一课时） 教科书 书 名：数学选择性必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 学生信息 姓名 学校 班级 学号 学习目标 类比共线向量定理、共面向量定理的意义，了解空间向量基本定理的意义，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量来唯一线性表示.通过空间向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法.通过本节课的学习培养学生逻辑推理直观想象等核心素养. 课前学习任务 回顾平面向量基本定理的内容及推导过程. 课上学习任务 【学习任务一】复习引入 上节课我们类比平面向量学习了空间向量的概念、运算及运算律。这节课我们要类比共线向量定理和平面向量基本定理来学习空间向量基本定理。 （1） 共线向量定理向量与共线的充要条件：_____________________________________________________________________. 由共线向量定理得，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说位于同一直线上的向量可以用位于这条直线上的一个非零向量表示. （2） 平面向量基本定理：____________________________________________ ____________________________________________________________________.由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一平面的两个不共线向量来唯一线性表示.而平面内的任意一组不共线向量都可以作为这个平面的一个基底. 那么空间中的任意一个向量能否用任意三个不共面的向量，，来表示呢？ 猜想：____________________________________________________________ 【学习任务二】新课探究 环节一 我们先以空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论。 1. 设是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共的起点O 2. 对于任意的，为在所确定的平面上的投影向量 3. 由向量加法的三角形法则有________________________________________ 4. 又与共线，所以存在唯一实数，使得_________________________ 5. 从而 6. 又在所确定的平面上，由平面向量基本定理，存在唯一有序实数对，使得______________________________________________________________ 7. 从而:__________________________________________________________ 8. 由上述过程可知点在一般位置可以得到，若点在特殊位置上，点在AOB平面上，则.其他特殊位置也同理可得. 9. 所以如果是空间找那个三个两两垂直的向量，那么对于任一一个空间向量，存在有序实数组，使得 10. 那么如何证明唯一性呢？ 唯一性用反证法证明：若另有不同于x,y,z的实数x1,y1,z1满足， 则，即 又、、不共面，则x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x,y,z是唯一的实数. 环节二 在空间中如果用任意三个向量来代替两两垂直的向量，你能得到类似的结论吗？ 类比上面过程让学生自己探究.注：作平行与. 空间向量的基本定理：______________________________________________ ____________________________________________________________________ 相关概念 （1）表达式叫做的线性表达式，或线性组合. （2）相关概念：其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量. （3）如果空间中一个基底中三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{、、}表示. （4）把空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【学习任务三】课堂小结：在中，特别地，当x=0,则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0, y=0时，则与共线；当x=0, z=0时，则与共线；当y=0，z=0时，则与共线.这说明一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展. 【学习任务三】 基础训练 与任意不共线向量，可以构成