2.2基本不等式（第一课时）学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

学习任务单 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 基本不等式（第一课时） 教科书 书名：普通高中教科书数学必修第一册 出版社：人民教育出版社A版 出版日期：2019年4月 学生信息 姓名 学校 班级 学号 学习目标 1.掌握基本不等式的定义、证明方法和几何解释，提升数学抽象的核心素养； 2. 会用基本不等式解决简单问题，强化逻辑推理和数学运算的核心素养。 课前学习任务 复习不等式的性质和比较大小的方法 不等式性质： 比较大小： 课上学习任务 【学习任务一】 1. 创设情境，生成问题 如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计的，颜色的明暗使其看起来像一个风车。. 【探究1】依据这个会标，你能找到一些相等或不等关系吗？四个全等直角三角形面积与大正方形面积为多少？能得出什么等式？你会证明吗？ 2.探索交流，解决问题 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当 时，等号成立． 如果a＞0，b＞0，我们用，分别代替上式中的a，b，可得 ， 当且仅当 时，等号成立．你能多个方法证明吗？ 3.基本不等式的定义： 如果 ，通常称不等式 （当且仅当a＝b时，等号成立）为基本不等式，其中， 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 【思考1】不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？ 如果不同各是什么？ 【思考2】如何理解“当且仅当”的含义？ 【探究2】如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 【学习任务二】 利用基本不等式解决简单的最值问题 例1. 已知，求的最小值 总结应用基本不等式的注意事项，即“一______，二_______，三_______ 练习（1）已知都是正数，求：（1）如果 ，那么当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？ 如果已知都是正数，积等于定值，那么当时，和有最小值（积定和最小） 练习（2）已知都是正数，如果 ，那么当取什么值时，取得最大值？最大值是多少？ 如果已知都是正数，和等于定值 ，那么当时，积有最大值（和定积最大） 【学习任务三】 1、总结自己的学习收获.通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 2、布置作业，课后延拓 【探究】如图，取正方形对角线上任意一点，分别作正方形两邻边的垂线，切分出两个正方形和两个矩形，设切分出的两正方形边长分别为，问：切分出的两正方形面积和与两矩形面积和的大小关系？ 【引申】若设切分出的两正方形的面积分别为, 根据上述不等关系，又可以得到怎样的不等式呢？ （2）基本作业：课本P48页复习巩固 （3）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流． 推荐的学习资源 1.阅读教材P44-46学习内容 2.（越）范建雄 《不等式的秘密》 3.（英）哈代《不等式（第二版》 学科网（北京）股份有限公司 $