2023年湖南省长沙市中考数学专题复习：新定义题型-函数综合（综合版）

教师 科目 数学 备课时间 学生 年级 初三 上课时间 课题：新定义题型-函数综合（综合版） 课型：复习 课题出处：一次函数、二次函数、反比例函数 学生主要问题： 1.新定义的理解与转化不清楚 2.一次函数、二次函数、反比例函数最值问题、判别式、韦达定理的综合运用不清楚 教学目标： 1.掌握一次函数、二次函数、反比例函数的基本图象与性质 2.掌握函数图象交点个数的判断，判别式、韦达定理的运用 3.掌握两点间距离公式、中点公式的运用 教学重点与难点： 1.新定义的理解与转化 2.一次函数、二次函数、反比例函数最值问题、判别式、韦达定理的综合运用 教 学 内 容 题型一：对称问题 例1.（20长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题 （1）在下列关于的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×” ①（    ）    ②（   ）    ③（  ） （2）若点A（，）与点B（，）关于的“H函数” 的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求，，的值或取值范围； （3）若关于的“H函数” （，，是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该H函数截轴得到的线段长度的取值范围． 解析答案：（1）①√　②√　③× 3分 （2）解：由题意可得：，则 从而： 解得 由得到，解得 从而，故为所求 6分 （3）解：显然，否则 设该“Ｈ函数”的一对“Ｈ点”是： 依题意可得，从而，得 因为， 所以，所以 因为，所以，从而 设该“Ｈ函数”与轴的两个交点分别是 令，得到 则由 可得 因为 所以 变式1-1.（21-长沙中考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点A（1，）与点B（，4）是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则，，（将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于的函数（是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由； （3）若关于的“T函数”（，且是常数）经过坐标原点O，且与直线：（，，且是常数）交于M（，），N（，）两点，当满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由. 解析答案：（1）4， -1， 4； 3分 （2）解：根据题意，若该函数是“T函数”，则它的图象上至少存在不同的两点关于y轴对称.不妨设此两点为，,由于此两点不能重合，则必有x00，代入函数解析式可得，从而2kx0 = 0，因为x00，所以k = 0. （I）k = 0时，该函数是“T函数”，由图象可知，它存在无穷多对“T点”. （II）k0时，图象上不存在不同的两点关于y轴对称，所以该函数必定不是“T函数”. 6分 （3）解：根据题意的图象过原点，所以必有，又因为此函数是“T函数”，则它的图象上必定存在不同的两点关于轴对称，不妨设此两点为，由于此两点不能重合，则必有，从而有所以，因为，故必有， 联立可得，因为，，所以. 由题意可得，是的两个根， 从而由根与系数的关系可得 由题中条件，可得到， 化简可得，从而. 所以， 显然时，. 所以直线总经过定点. 变式1-2.（22-1九上长郡期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（为常数）对称，则把该函数称之为“函数”． （1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“函数”的打“×”． ①（）（_______）②（_______）③（_______） （2）若关于的函数（为常数）是“函数，与（为常数，）相交于A（，）、B（，）两点，A在B的左边，，求的值； （3）若关于的“函数”函数”（为常数）经过点（，），且，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值． 答案解析： 变式1-3.（21-1青一期末）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”． （1）已知一次函数的图象，求关于直线的对称函数的解析式； （2）已知二次函数的图象为C1； ①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式； ②若两抛物线与轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求的值； （3）若直线关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论取何值，抛物线都不通过点P，求符合条件的点P坐标． 答案解析： 变式1-4.（21-1青一第三次）一般地，在画一个图形关于某点的中心对称图形时，