第五章 一元函数的导数及其应用单元检测-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用单元检测 一、单选题 1．当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（    ） A．1.21 B．0.21 C．2.1 D．12.1 2．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 4．设函数，则（    ） A． B． C． D．0 5．下列四组函数中，导数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．下列函数求导运算正确的个数为（    ） ①；②若，则；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 7．设，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法不正确的是（    ）. A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若不存在，则曲线在点处无切线 D．曲线虽在点处有切线，但不一定存在 10．下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数只有两个极值点 B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C．方程共有4个根 D．若，，则的最大值为2 三、填空题 13．曲线在点处的切线斜率为______． 14．若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数__________. 15．已知，若，则______． 16．已知函数的定义域为，导函数在区间上的图像如图所示，则函数在上极大值点的个数为________． 四、解答题 17．已知自由落体运动的方程为（g为常数），求： (1)落体在到这段时间内的平均速度； (2)落体在s这一时刻的瞬时速度. 18．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求满足斜率为1的曲线的切线方程. 19．求下列函数的导数： （l）； （2）． 20．设函数（为常数），.曲线在点处的切线与轴平行 (1)求的值； (2)求的单调区间. 21．已知函数（）． (1)若函数的极大值为0，求实数a的值； (2)证明：当时，． 22．已知函数. (1)求证：在区间上函数的图象在函数图象的下方； (2)请你构造函数，使函数在定义域上，存在两个极值点，并证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 2．A 3．A 4．D 5．D 6．B 7．B 8．A 9．ABC 10.. 11．AD 12．ACD 13． 14． 15．6 16．3 17．(1)落体在到这段时间内的平均速度是； (2)落体在这段时间的平均速度是， 当无限趋近于0时，平均速度趋近于， 所以落体在s这一时刻的瞬时速度时. 18．（1）由,得， ∴在点处切线的斜率. ∴曲线在点处的切线方程为， 即. （2）设切点为，则切线的斜率为. 曲线的切线斜率为1,,解得， 切点为，. 切线方程为和， 即和. 19．（1）因，则， 所以函数的导数是． （2）因，则， 所以函数的导数是. 20．（1）， ， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以， 所以. （2），定义域为， ， 令，得， 当变化时，和的变化如下表： 1 － 0 ＋ 增 0 减 由上表可知的单调递减区间为，单调递增区间为， 21．（1）∵函数的定义域为， 且． ∴当 时，恒成立，在单调递增，无极大值． 当 时，由解得；由解得， 故在单调递增，在单调递减, ∴, 即， 而函数在单调递增， 所以． （2）证明：由（1）知，即． 要证当时，， 即证， 当时，,即证, 令函数，则， 令， 则，所以函数在定义域上单调递增． 因为，， 所以函数在区间上存在零点，使得，即, 当时，；当时，； 故为函数在区间上的唯一极小值点， 所以 ， 所以当时，． 22.（1）证明：由题意可知，即证：对任意的，， 令，其中， 所以，， 所以，函数在上单调递增， 当时，， 所以，对任意的，. 因此，在区间上函数的图象在函数图象的下方. （2）解：令（注：，即可）， 则，其中， ， 令，得或，列表如下： + 增 极大 减 极小 增 所以，函数存在两个极值点，且分别为、. $