4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

人教A版2019选修第二册 第四章 数列 4.2.2等差数列的前n项和公式 第一课时 一 二 三 学习目标 理解公式的推导方法 能较熟练应用等差数列前n项和公式求和 学习目标 掌握等差数列前n项和公式 1. 等差数列定义： 2. 等差数列通项公式： (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数) (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). an－an－1 ＝d (n≥2) 或 an+1－an ＝d. 3. 几种计算公差d的方法: 4. 等差中项 m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq . 5. 等差数列的性质 A= 01 复习回顾 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1+2+3+---+99+100=? 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面 的方法迅速算出了正确答案： 创设情境 提出问题 02 1+2+3+…+50+51+…+98+99+100= 5050 50对 101 101 101 101 问题1：计算 创设情境 提出问题 01 新知探究一：等差数列的前n项和公式 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ① 前100项的和的问题. 思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗? 对于数列1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ，若设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为 可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系. 这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算. 03 将上述方法推广到一般，可以得到: 于是有 当n是偶数时，有 当n是奇数时，有 ∴对任意正整数n，都有 问题3： 你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 03 新知探究一：等差数列的前n项和公式 思路1（拿出中间项，再首尾配对） 原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51 思路2（拿出末项，再首尾配对） 原式=(1+2+3+… + 100)+101 思路3（先凑成偶数项，再配对） 原式=(1+2+3+… + 101+102)-102 思路3（先凑成偶数项，再配对） 原式=0+1+2+3+… + 100+101 探究：你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？ 结论：当n为奇数时，“首尾配对”不太方便 03 新知探究一：等差数列的前n项和公式 我们知道，在解决实际问题时，通常要将实际问题转化成数学式子。这个问题就是……   03 新知探究一：等差数列的前n项和公式   能否设法避免分类讨论？ 03 新知探究一：等差数列的前n项和公式 问题呈现：传说印度泰姬陵的陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(见右图)，奢靡之程度，可见一斑. 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 03 新知探究一：等差数列的前n项和公式 1 2 3 21 21 20 19 1 获得算法： 问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？ 借助几何图形之直观性，把这个“三角形”倒置，与原图补成平行四边形. 03 新知探究一：等差数列的前n项和公式 这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是： 1+ 2+ 3+ 4+……+21 21+20+19+18+……+1 对齐相加(其中第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序） 倒序相加法 说明：这实质上是我们数学中一种求和的重要方法. 03 新知探究一：等差数列的前n项和公式 ① 倒序相加法 受此启发，我们得到下面的方法 ② 将上述两式相加，可得 03 新知探究一：等差数列的前n项和公式 探究，给学生以充足的时间。提问：1、命名；2、计算1+2+3+…+100可以用吗？当N＝2K+1，中间一项为K,K+2,k+1 如果等差数列{an}的首项a1, 公差为d, 那么该等差数列的前n项和公式为 注意：等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1, d, n, an, Sn”五个量，故知三求二． 把等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d带入上式，得 等差数列的前项和n公式： 03 新知探究一：等差数列的前