5.3二次函数 课件2022-2023学年青岛版九年级数学下册

第5章 对函数的再探索 5.3 二次函数 01 学习目标 1.结合具体情境,通过用解析法表示简单实际问题中变量之间的二次函数关系,体会二次函数的意义. 2.经历二次函数概念的形成过程,体会二次函数也是一种数学模型. 3.会把一个二次函数化成一般形式. 02 温故知新 变量之间的关系 函数 一次函数 反比例函数 y=kx+b (k≠0,b≠0) 正比例函数y=kx (k≠0) y= (k≠0) 二次函数 03 观察与思考 思考下列问题,并与同学交流. (1)把一根长为60cm的铁丝,围成一个矩形,写出矩形的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数表达式. 解:(1)矩形的一边长为xcm,则它的另一边长为(30-x)cm, 因此矩形的面积S=x(30-x), 整理得S=-x2+30x. (2)如图,一个小球由静止开始沿斜坡向下滚动,5s时到达斜坡的底部.测得小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的对应数据如下表所示: 分析上面的数据,当t增加时,s的变化有什么规律?写出s与t之间的函数表达式. s=2t2. (3)某企业去年的产值为1200万元.如果三年内该企业年产值平均每年的增长率为x,写出明年该企业年产值y(万元)与x之间的函数表达式. (3)因为去年的年产值为1200万元,所以该企业今年的年产值为1200+1200x,即1200(1+x). 因而,明年该企业的年产值y(万元)与增长率x之间的函数表达式为y=1200(1+x)+1200(1+x) ·x=1200(1+x)2. 进一步整理得到:y=1200x2+2400x+1200. (4)上面三个问题中的函数表达式分别为: S=-x2+30x, s=2t2,y=1200x2+2400x+1200. 观察这些函数表达式,它们具有什么共同特征? 这些函数表达式都是关于自变量的二次整式. 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0) 的函数叫做二次函数. 其中,a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项. (5)说出二次函数y=ax2+bx+c中自变量x的取值范围,再分别说出问题(1)(2)(3)中自变量可以取值的范围. 在一般形式下,由于二次函数的表达式是整式,所以x取任意一个实数时,函数y都有意义,即自变量的取值范围是全体实数. 问题(1): 一边长x应满足0<x<30; 问题(2): t的取值范围是0≤t≤5; 问题(3): x的取值范围是x>0. 二次函数y=ax2+bx+c的自变量x可以取值的范围是全体实数,但在具体问题中,还要结合实际背景确定自变量的取值范围. 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3(x-1) 2+1; (2) s=3-2t2; (3) y=(x+3) 2-x2; (4) v=10πr2; (7) y=ax2+bx+c. (6)y=22+2x; 判断一个函数是否是二次函数,看它是否能 化简成y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)的形式. (5) y=x2+x³+25; 是 是 是 2.写出下列三个二次函数表达式中的二次项系数、一次项系数和常数项. 表达式 二次项系数 一次项系数 常数项 S=-x2+30x s=2t2 y=1200x2+2400x+1200 -1 30 0 2 0 0 1200 2400 1200 04 例题讲解 例1 如图,从半径为15的圆形铁片上,挖去一个半径为x的圆.写出剩余部分的面积y与x之间的函数表达式,并指出自变量x可以取值的范围. 解:原来圆形铁片的面积为S=π×152=225π, 挖去部分的面积为πx2. 所以,剩余部分的面积y与x之间的函数表达式为y=225π-πx2=-πx2+225π. 根据题意,小圆在大圆的内部, 所以自变量x可以取值的范围是0<x<15. 例2 已知函数 y= (m+3)xm2-7 . (1)m取什么值时,此函数是二次函数? (2)m取什么值时,此函数是正比例函数? (3)m取什么值时,此函数是反比例函数? 解:(1)m+3≠0,m2-7=2, 解得m=3. (2)m+3≠0,m2-7=1,解得m=±2. (3)m+3≠0,m2-7=-1,解得m=±. 05 课堂小结 通过本节课的学习,你有哪些收获? 1.二次函数定义:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数. 2.判断一个函数是否为二次函数的方法与步骤: (1)先将函数进行整理,使其右边是含自变量的代数式, 左边是因变量; (2)判断含自变量的代数式是否为整式; (4)判断二次项的系数是否为0. (3)判断含自变量的项的最高次数是否为2; 06 达标练习 1.下列y关于x的函数表达式: ①y=x2+2x+5;②y=-5+8x-x2;③y=(3x+2)(4x-3)-