4.4 数学归纳法同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4 数学归纳法 同步练习 一、单选题 1．满足1×2＋2×3＋3×4n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于（    ） A．1 B．1或2 C．1，2，3 D．1，2，3，4 2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋（    ） A． B．π C． D．2π 3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（    ） A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a4 4．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（    ） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（    ） A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1 6．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 7．现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题 8．在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（    ） A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 10．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（    ） A．若对成立，则对所有正整数都成立 B．若对成立，则对所有正偶数都成立 C．若对成立，则对所有正奇数都成立 D．若对成立，则对所有自然数都成立 12．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（    ） A．当时，命题不成立 B．当时，命题可能成立 C．当时，命题不成立 D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立 三、填空题 13．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为_______. 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________. 15．若存在正整数，使得能被整除，则的最大值为________． 16．已知函数，若，，…，，猜想的函数表达式为______． 四、解答题 17．设函数对任意实数x、y都有． (1)求的值； (2)若，求、、的值； (3)在（2）的条件下，猜想（n为正整数）的表达式，并证明． 18．求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*. 19．已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题． (1)求，，，并猜想的通项公式； (2)证明（1）中的猜想． 20．已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立． 21．已知函数. （1）当，时，若存在，，使得，求实数c的取值范围； （2）若二次函数对一切恒有成立，且，求)的值； （3）是否存在一个二次函数，使得对任意正整数k，当时，都有成立，请给出结论，并加以证明. 22．在正整数集上定义函数，满足，且. （1）求证：； （2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论. 参考答案 1--8CBBAC CBD 9．AD 10．CD 11．BC 12．AD 13．(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6 14．Sn＝ 15．. 16． 17．（1）令x＝y＝0，得； （2）由，得，，． （3）猜想：（n为正整数）． 证明： 当n＝1时，，等式成立． 假设当n＝k时，等式成立，即，则 当n＝k＋1时，，等式也成立． 综上：对任意正整数n都有． 18．证明:（1）当n＝4时，四棱柱有2个对角面， 此时f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立. （2）假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，命题成立. 即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝k(k－3)个. 现在考虑n＝k＋1时的