2023年九年级数学中考复习讲义 等腰三角形直角三角形

2023年中考复习讲义 等腰三角形直角三角形 第一部分：知识点精准记忆 1. 等腰三角形 等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。 等腰三角形性质： 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 等边三角形性质和判定： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 （4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （补充： （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[ 二、直角三角形 1.直角三角形定义 （1）有一个角是 的三角形叫做直角三角形。 2.直角三角形的性质 （1）直角三角形中，两个锐角；（2）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于。 3.直角三角形的判定 （1）两个内角的三角形是直角三角形（2）有一边上的等于这边的一半的三角形是直角三角形。 4.勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理：直角三角形的两直角边a、b 的 ，等于斜边c的，即：。 （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、 c有关系：，那么这个三角形是直角三角形。故勾股定理的逆定理可以判断某三角形是否为直角三角形、证明两条线段是否垂直。 三、线段的垂直平分线和角的平分线 1、线段垂直平分线定义： 垂直一条线段且平分 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线 2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 4、角的平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 第二部分：考点典例剖析 考点一：角的平分线 【例1-1】（丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 15 ． 【例1-2】（泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= 35 °． 考点二：线段垂直平分线 【例2-1】（2019山东东营）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF，若AC=3，CG=2，则CF的长为（ ） A． B．3 C．2 D． 【例2-2】（义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= 70° ． 【例2-3】（天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 考点三：等腰三角形性质的运用 【例3-1】（武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（　　） A．18° B．24° C．30° D．36° 【例3-2】 （云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= 44° ． 考点四：等边三角形的判定与性质 【例4-1】（黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度． 【例4-2】 （黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ． 考点五：三角形中位线定理 【例5-1】(2019聊城中考)如图，在中，，，为的中位线，延长至，使，连接并延长交于点．若，则的周长为_______． 【例5-2】 （2019年威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝ 【例5-3】（昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=5