第十七 章勾股定理专题训练课讲义2022-2023学年人教版八年级数学下册

勾股定理及其应用（2023年八年级专题训练） 勾股定理及其应用 一、勾股定理 1．定义： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果记两条直角边为a和b，斜边记为c，则可用表示． 2．证明： 方法一（邹元治证明） 方法二（赵爽证明） 方法三（总统证法） 方法四（欧几里得证法） 3．勾股树： 【例1】正方形面积为36，则对角线的长为_________． 【例2】一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为_________． 【例3】直角三角形中，两条边长分别为3和4，另一条边长为_________． 【例4】如图，△中，点M是AC边上一个动点．若AB=AC=10，BC=12，则BM的最小值为_________． 【例5】如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为________． 【例6】如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形面积是________． 【例7】如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，，，，则_______． 【例8】著名的希波克拉蒂月牙问题：如图，以为直径作半圆，是圆弧上一点（不与、重合），以、为直径分别作半圆，围成两个月牙（阴影部分）．已知直径，直径，直径．（注：此时是直角） （1）请你猜测：阴影部分的面积与△面积之间有怎样的关系； （2）求出两个月牙形的周长和． 【例9】如图，在△中，，，，点在上，，交于点，交于点，则的长是________． 二、勾股定理逆定理 1．勾股定理的逆定理： 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 2．常见勾股数： （3,  4,  5）、（5,  12,  13）、（6,  8,  10）、（7,  24,  25）、（8,   15,  17）、（9,  40,  41）、（11,  60,  61）、（20,  21,  29） 注：如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数（为正数）． 【例10】以下列各组数为边长的三角形中，能够构成直角三角形的是（　　） A．，， B．2，， C．1，， D．，，． 【例11】下列长度的三条线段：①9，12，15； ②7，24，25； ③32，42，52； ④3，4，5（）； ⑤，，（，为正整数，且）．其中可以构成直角三角形的有（　　） A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②④ D．①② 【例12】已知、、满足．求： （1）、、的值； （2）试问以、、为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，求出直角三角形的周长；若不能构成直角三角形，请说明理由． 三、勾股定理的应用 1．勾股定理之求不规则特殊四边形面积 【例13】如图，在四边形中，，△的面积为，，，，求△的面积． 【例14】如图，已知，，，，． （1）证明：△是直角三角形． （2）请求图中阴影部分的面积． 2．勾股定理之“大树折断”问题 【例15】如图，小明的家距离大树底部是9米，一次台风过后，大树在离地面3米的点处折断，顶端着地处点在上，又知恰好等于． （1）请用直尺和圆规作出点的位置（保留作图痕迹，不必写作法）； （2）求大树折断前高度． 【例16】如图，一根树在离地面9米处撕裂，树顶部落在离底部12米处，求折断之前树高多少米． 【例17】如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．此时梯子顶端离地面多少米？若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？ 3．勾股定理之折叠问题 【例18】如图，四边形中，，，△与△关于直线轴对称，，，交于点，则线段的长为_______． 【例19】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为_______． 【例20】如图，矩形中，，，为上一点，将△沿翻折至△，与相交于点，且，则的长为__________． 【例21】如图，边长为8的正方形中，是边上一点，连接，将△沿所在直线折叠，使点的对应点落在正方形的边或的垂直平分线上，则的长度是_________． 【例22】如图，在正方形的边上取一点，连接，将△沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则△的面积是_______． 【例23】如图，是一张直角三角形纸片，其中，cm，cm，将纸片折叠，使点恰好落在的中点处，折痕为，试求出的长度． 4．勾股定理之最短路径 【例24】如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在其外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的处有一苍蝇，试求蜘蛛所走的最短路线的长度．如果苍蝇在容器内侧距开口1cm处，试求蜘蛛所走的最短路