2023年中考数学高频考点突破——全等三角形的应用

2023年中考数学高频考点突破——全等三角形的应用 一、综合题 1． （1）启迪中学计划为七年级学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是　 　； （2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为40cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由． 2．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm． （1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， ①BP＝ ▲ 厘米，CP＝ ▲ 厘米．（用含t的代数式表示） ②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值。 （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇． 3．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，你能帮他想个办法吗？ （1）把你的方法写出来． （2）写出其中的道理． 4．如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了100步． （1）根据题意，画出示意图； （2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 5．已知：如图， 中， 分别是 上的中线， 相交于点O，联结 ．求证： （1） ； （2） 垂直平分 ． 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝14，AF＝8，求CF的长． 7．阅读下面材料,完成相应任务: （1）小明在研究命题①时,在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形.由此判断命题①是　 　命题(填“真”或“假”). （2）小彬经过探究发现命题②是真命题.请你结合图2证明这一命题. （3）小颖经过探究又提出了一个新的命题:“若 ， ， ，　 　，　 　，则四边形 ≌四边形 ”请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题. 8．如图，在等边三角形ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，以相同的速度分别由A向B、由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到了D、E处．设在爬行过程中DC与BE的交点为F． （1）当点D、E不是AB、AC的中点时，图中有全等三角形吗？如果没有，请说明理由；如果有，请找出所有的全等三角形，并选择其中一对进行证明． （2）问蜗牛在爬行过程中DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请证明你的结论． 9．如图：在正方形ABCD中，点P、Q是CD边上的两点，且DP＝CQ，过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G，AP、EQ的延长线相交于R． （1）求证：DP＝CG； （2）判断△PQR的形状，请说明理由． 10．如图，四边形ABCD为菱形，P为对角线BD上一点，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC． （1）求证：∠AEB＝∠PCD； （2）当PA＝PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数； （3）若∠ABC＝90°，△PCE是等腰三角形．直接写出∠PEC的度数　 　． 11．已知在 中， ，过点 引一条射线 ， 是 上一点． （1）（问题解决） 如图1，若 ，射线 在 内部， ，求证： ．小明同学展示的做法是：在 上取一点 使得 ，通过已知的条件，从而求得 的度数，请你帮助小明写出证明过程； （2）（类比探究） 如图2，已知 ． ①当射线 在 内，求 的度数； ②当射线 在 下方，如图3所示，请问 的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出 的度数 12． （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角 的直角顶点 在原点，将其绕着点 旋转，若顶点 恰好落在点 处．则① 的长