6.4.3 余弦定理、正弦定理—三角形面积问题 题型练习2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。——爱因斯坦   数学是打开科学大门的钥匙 6.4.3 余弦定理、正弦定理—三角形面积问题 题型1　三角形面积的计算 1．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 ，则△ABC的面积为(　　)　　　　　　　　　 A．4 B．4 C．2 D．2 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝bc＝1，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.a＝1，b＝3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，且cos ∠ACB＝csin A，则△ACD的面积为(　　) A. B. C. D. 4．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B＋sin B＝2，c＝2，则△ABC面积的取值范围为(　　) A. B. C. D. 题型2　利用三角形面积公式解三角形 5．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝，则C＝(　　) A．60°或120° B．30° C．60° D．45° 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin Bsin C＝sin A，△ABC的面积为，a＋b＝3 ，则c＝(　　) A．3 B.或 C. D.或3 7．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　) A．5 B. C．2 D． 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则角A＝(　　) A. B. C. D. 9．在钝角三角形ABC中，AB＝2，sin B＝，且S△ABC＝，则AC＝(　　) A. B．2 C. D.或 10．(多选)[广东广州八校2022高一期中]如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝.若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列说法中正确的是(　　) A．△ABC的内角B＝ B．∠ACB＝ C．四边形ABCD面积的最大值为＋3 D．四边形ABCD的面积无最大值 11.[2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试理科]已知△ABC的面积等于1.若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A＝________. 12.在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c.若S△ABC＝(a－b)，其外接圆半径R＝2，且4(sin2A－sin2B)＝(a－b)sin B，则sin＋sin＝________． 答案及解析 1．【答案】C 【详解】由余弦定理可得(2 )2＝AB2＋42－2×4·AB·cos 60°，整理得AB2－4AB＋4＝0，解得AB＝2，∴△ABC的面积S＝AC·AB·sin A＝×4×2×＝2 .故选C. 2．【答案】C 【详解】由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理b2＋c2－a2＝2bccos A可得bc＝2bccos A，即cos A＝，所以sin A＝.因为bc＝1，所以S＝bcsin A＝×1×＝.故选C. 3．【答案】B 【详解】由正弦定理可知asin∠ACB＝csin∠BAC， 所以cos∠ACB＝csin∠BAC＝asin∠ACB＝sin∠ACB， 故tan∠ACB＝. 又∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝. 由D是AB上的点，CD平分∠ACB及角平分线定理可知，＝＝＝3，故AD＝AB，即S△ACD＝S△ABC＝×ab×sin∠ACB＝××1×3×sin＝. 故选B. 4．【答案】B　 【解析】因为cos B＋sin B＝2，所以sin＝1，又B为锐角，所以B＝，所以A＋C＝. 根据正弦定理＝， 得a＝＝， 所以S△ABC＝acsin B＝a＝·＝ ＝＝. 因为 所以<A<，所以tan A>， 所以0<<，<＋<2，所以<<2 ， 所以△ABC面积的取值范围为.故选B. 5．【答案】C 【详解】在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝AB·ACsin A＝，可得sin A＝1.因为0°＜A＜180°，所以A＝90°.所以C＝180°－A－B＝60°. 6．【答案】D 【详解】由正弦定理及sin Bsin C＝sin A得sin C＝＝，所以S△ABC＝absin C＝a2＝，解得a＝(负值舍去)．又a＋b＝3 ，所以b＝2 ， 则sin C＝＝，所以cos C ＝±＝±. 当cos C＝时， c＝＝3