第二部分 题型三 二次函数与代数推理综合题（精练册）-【一战成名】2023云南中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·云南数学 第 二 部 分 题 型 专 练 题型三　二次函数与代数推理综合题（省卷：２０２２．２４，２０２１．２３） 典例精讲 例　【多解法】（２０２１省卷２３题１２分）已知抛物线ｙ＝－２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点（０，－２），当ｘ＜－４ 时，ｙ随ｘ的增大而增大，当ｘ＞－４时，ｙ随ｘ的增大而减小．设ｒ是抛物线ｙ＝－２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ 与ｘ轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，ｍ＝ｒ ９＋ｒ７－２ｒ５＋ｒ３＋ｒ－１ ｒ９＋６０ｒ５－１ ． （１）求ｂ，ｃ的值； 解：∵抛物线ｙ＝－２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点（０，－２），∴ｃ＝－２， ∵当ｘ＜－４时，ｙ随ｘ的增大而增大，当ｘ＞－４时，ｙ随ｘ的增大而减小， ∴直线ｘ＝－４是抛物线ｙ＝－２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴， ∴－ ｂ２×（－２）＝ ｂ ４＝－４，解得ｂ＝－１６，∴ｂ＝－１６，ｃ＝－２； （２）求证：ｒ４－２ｒ２＋１＝６０ｒ２； 证明：∵ｂ＝－１６，ｃ＝－２，∴抛物线的解析式为ｙ＝－２ｘ２－１６ｘ－２， ∵ｒ是抛物线ｙ＝－２ｘ２－１６ｘ－２与ｘ轴交点的横坐标， ∴ｒ是方程－２ｘ２－１６ｘ－２＝０的解， ∴－２ｒ２－１６ｒ－２＝０，即ｒ２＋８ｒ＋１＝０， 方法一：由ｒ２＋８ｒ＋１＝０得ｒ２＝－１－８ｒ， ∴ｒ４＝（ｒ２）２＝（－１－８ｒ）２＝６４ｒ２＋１６ｒ＋１， ∴ｒ４－２ｒ２＋１＝６４ｒ２＋１６ｒ＋１－２ｒ２＋１＝６２ｒ２＋１６ｒ＋２ ＝６０ｒ２＋２ｒ２＋１６ｒ＋２＝６０ｒ２＋２（ｒ２＋８ｒ＋１）， ∵ｒ２＋８ｒ＋１＝０，∴６０ｒ２＋２（ｒ２＋８ｒ＋１）＝６０ｒ２， ∴ｒ４－２ｒ２＋１＝６０ｒ２； 其他解法见解析 （３）以下结论：ｍ＜１，ｍ＝１，ｍ＞１，你认为哪个正确？请证明你认为 正确的那个结论． 解：ｍ＞１． 证明：先证明ｒ＜０，若ｒ≤－４，显然ｒ＜０，若ｒ＞－４，∵当ｘ＝ｒ时，ｙ＝０，当 ｘ＝０时，ｙ＝－２＜０，而当ｘ＞－４时，ｙ随ｘ的增大而减小，∴ｒ＜０， 方法一：由（２）可知，ｒ４－２ｒ２＋１＝６０ｒ２， ∴ｒ３（ｒ４－２ｒ２＋１）＝ｒ３·６０ｒ２，即ｒ７－２ｒ５＋ｒ３＝６０ｒ５， ∴ｒ９＋ｒ７－２ｒ５＋ｒ３＋ｒ－１＝ｒ９＋６０ｒ５＋ｒ－１． ∵ｒ＜０，∴ｒ９＋６０ｒ５＋ｒ－１＜ｒ９＋６０ｒ５－１，ｒ９＋６０ｒ５－１＜０， ∴ｒ９＋ｒ７－２ｒ５＋ｒ３＋ｒ－１＜ｒ９＋６０ｒ５－１＜０， ∴ｒ ９＋ｒ７－２ｒ５＋ｒ３＋ｒ－１ ｒ９＋６０ｒ５－１ ＞１，即ｍ＞１． 其他解法见解析 【解析与点拨】 （１）（０，－２）→ ｃ值； 当 ｘ＜－４和 ｘ＞ －４时的抛物线增减 性→对称轴→ｂ值． （２）直接利用完全 平方式无法证明 ｒ４ －２ｒ２＋１＝（ｒ＋１）２ （ｒ－１）２与 ６０ｒ２之 间的关系，那么想 到利用“ｒ是抛物线 与ｘ轴交点的横坐 标”得到 ｒ２＋８ｒ＋１ ＝０，然后想到“  降  次法”，恒等代换是 解题关键． （３）借用（２）的结 论，并利用作商法： 若ａ＞０，ｂ＞０： 当ａ＞ｂ时，则ａｂ＞１； 当ａ＝ｂ时，则ａｂ＝１； 当ａ＜ｂ时，则ａｂ＜１； 若ａ＜０，ｂ＜０，则ａｂ 与１的关系不等号 恰好相反                                                         ． ４５１ 一战成名·云南数学 第 二 部 分 题 型 专 练 针对训练 １． 若二次函数 ｙ＝ｘ２－（２ｍ＋ １）ｘ＋ｍ２＋１的图象与ｘ轴的两个交点分别 为（ｘ１，０），（ｘ２，０），且ｘ１，ｘ２都大于１． （１）求实数ｍ的取值范围； （２）若 ｘ１ ｘ２ ＝１２，求ｍ的值； （３）若 Ｐ＝ １ ｍ２＋ｍ＋１ ，Ｑ＝ｍ２－ｍ＋１，判断 Ｐ，Ｑ的大小关系． 解：（１）∵二次函数 ｙ＝ｘ２－（２ｍ＋１）ｘ＋ ｍ２＋１的图象与 ｘ轴的两个交点分别为 （ｘ１，０），（ｘ２，０）， ∴ｘ１，ｘ２是方程ｘ ２－（２ｍ＋１）ｘ＋ｍ２＋１＝ ０的两根， ∴ｘ１＋ｘ２＝２ｍ＋１，ｘ１·ｘ２＝ｍ ２＋１． 又∵ｘ１＞１，ｘ２＞１，∴ Δ＞０， ｘ１＋ｘ２＞２， （ｘ１－１）（ｘ２－１）＞０ { ， ∴ｍ＞３４且ｍ≠１； （２）∵ ｘ１＋ｘ２＝２ｍ＋１， ｘ１ ｘ２ ＝１２ { ， ∴ ｘ１＝ ２ｍ＋１ ３ ， ｘ２＝ ４ｍ＋２ ３      ， ∴ｘ１·ｘ２＝ ２ｍ＋１ ３ · ４ｍ＋２ ３ ＝ｍ ２＋１， ∴ｍ２－８ｍ＋７＝０，解得ｍ１＝７，ｍ２＝１（舍去）， ∴ｍ的值为７； （３）∵Ｐ－Ｑ＝ １ ｍ２＋ｍ＋１ －（ｍ２－ｍ＋１） ＝１－（ｍ ２－ｍ＋１）（ｍ２＋ｍ＋１） ｍ２＋ｍ＋１ ＝－ｍ ４－ｍ２ ｍ２＋ｍ＋１ ＝－ｍ ２（ｍ２＋１） ｍ２＋ｍ