第二章 平面向量及其应用 章末达标检测（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

(时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是(　　) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b| A．①②　　　　　　　 B．①③ C．①③⑤ D．②④⑤ 解析　易知a＝0，则①③⑤正确． 答案　C 2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)．若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) 解析　∵a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)． 答案　A 3．在△ABC中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，那么A＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得[(b＋c)＋a][(b＋c)－a]＝3bc，即(b＋c)2－a2＝3bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理得cos A＝＝. 因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°. 故选B. 答案　B 4．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝(　　) A． B．3 C．10 D． 解析　∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴ab＝|a||b|cos 45°＝|b|，|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3. 答案　B 5．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则△ABC的最大角与最小角的和是(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° 解析　在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8， 由正弦定理可得a∶b∶c＝5∶7∶8， 根据大边对大角，小边对小角可知最大角为C，最小角为A， 设a＝5x，b＝7x，c＝8x， 在△ABC中，由余弦定理可得 cos B＝＝＝， 因为0°＜B＜180°，所以B＝60°， 所以A＋C＝120°， 所以△ABC的最大角与最小角的和是120°. 故选B. 答案　B 6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积术”．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积术”为S＝.若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积术”求得△ABC的面积为(　　) A． B． C． D． 解析　根据正弦定理，由c2sin A＝4sin C，可得ac＝4.结合B＝，可得a2＋c2－b2＝4，则S△ABC＝＝，故选A． 答案　A 7．为了测量某建筑物的高度，某同学在建筑物的正西方向的点A处测得建筑物顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在点B处测得建筑物顶端的仰角为30°，则建筑物的高度为(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析　根据题意画出图形，CD为泉标高度，如图所示，可知AB＝100，∠BAC＝60°，∠DBC＝30°，设DC＝x，所以AC＝x，在△DBC中，BC＝x，在△ABC中，利用余弦定理得(x)2＝x2＋1002－2×x×100×，解得x＝50(负值舍去)． 答案　A 8．如图，在△ABC中，∠CAB＝，AB＝3，AC＝2，＝2，＝＋，则||＝(　　) A． B． C． D． 解析　∵＝－＝＋－＝－＋， ∴||＝ ＝ ＝＝. 故选A． 答案　A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2bsin A，则B＝(　　) A． B． C． D． 解析　由已知条件及正弦定理得sin A＝2sin Asin B，又在三角形中sin A≠0，∴sin B＝.又∵0＜B＜π，∴B＝或. 答案　BD 10．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的是(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|－|b|＜|a－b| C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直 D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析　由于a，b，c是不共线的向量，因此(a·b)c不一定等于(c·a)b，故A错误；由于a，b不共线，所以a，b，(a－b)构成三角形，故B正确；由于[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(