第2章 3.1 向量的数乘运算（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有(　　) A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a方向相同 D．|－2λa|＝2|λ|·|a| 解析　当λ＝－1时，a与－λa同向，故A不对； 当λ＝－时，|－λa|＜|a|，故B不对； 当λ≠0时，a与λ2a同向，故C对； 显然D对，故选C，D. 答案　CD 2．△ABC中，＝a，＝b，＝，则＝(　　) A．a＋b　　　 B．a＋b C．a＋b D．a＋b 解析　△ABC中，＝a，＝b，＝，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 答案　A 3．设a，b为不共线的非零向量，＝2a＋3b，＝－8a－2b，＝－6a－4b，那么(　　) A．与同向，且||＞|| B.与同向，且||＜|| C．与反向，且||＞|| D.与反向，且||＜|| 解析　＝＋＋＝(2a＋3b)＋(－8a－2b)＋(－6a－4b)＝－12a－3b＝(－8a－2b)＝，所以与同向，且||＞||. 答案　A 4．设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝________. 解析　∵D，E，F分别为△ABC三边的中点， ∴＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3×(＋) ＝＋＋＋＋＋ ＝＋＋＝. 答案　 5．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________ . 解析　将原等式变形为2y－a－c－b＋y＋b＝0， 即y－a－c＋b＝0， y＝a－b＋c， 所以y＝＝a－b＋c. 答案　a－b＋c. 6．已知▱ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点． (1)用a，b表示向量，； (2)说明与的关系． 解析　(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴＝＝a. ∵M为AB的中点，∴＝＝b， ∴＝＋＝b＋a. ∵N为BD上靠近B的三等分点， ∴＝， ∴＝＋＝＋＝(－)＋＝(b－a)＋a＝a＋b. (2)由(1)知＝， 向量与向量方向相同， 且的长度为长度的. [关键能力·综合提升] 7．(多选题)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝3，则(　　) A．＋＝0 B.＋＝0 C．＋＝ D.＋＋＝0 解析　因为＋＝3，所以(－)＋(－)＝，即＋＝，所以＋＋＝0，＋＝. 答案　CD 8．图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论： ①－＋＝0；②＋＝－；③＋－＝. 其中正确的结论是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析　对于①，－＋＝＋＋＝＋＝，故①错误； 对于②，因为∠AOC＝×2＝90°，所以以OA，OC为邻边的平行四边形为正方形，又因为OB平分∠AOC，所以＋＝＝－，故②正确； 对于③，因为＋－＝＋＋＝＋，＝，所以＋－＝＋＝，故③正确．故选C． 答案　C 9．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，则的值等于________ . 解析　∵D是BC的中点，∴＋＝2， ∴2＝2，即＝，故＝1. 答案　1 10．如图所示，L，M，N是△ABC三边的中点，O是△ABC所在平面内的任意一点，求证：＋＋＝＋＋. 证明　＋＋ ＝＋＋＋＋＋ ＝(＋＋)＋(＋＋) ＝(＋＋)＋(＋＋) ＝(＋＋)＋0 ＝＋＋. 所以原式成立． [核心素养·探索创新] 11．设O在△ABC内部，且＋＋2＝0，求△ABC的面积与△AOC的面积之比． 解析　如图所示，以OA和OB为邻边作平行四边形OADB， 设OD与AB交于点E，则E分别是OD，AB的中点，＋＝＝2， 则2＋2＝0，所以＝－. 则O，E，C三点共线，所以O是中线CE的中点． 又△ABC，△AEC，△AOC有公共边AC， 则S△ABC＝2S△AEC＝2(2S△AOC)＝4S△AOC． 所以S△ABC∶S△AOC＝4∶1. 学科网（北京）股份有限公司 $