第2章 1 从位移、速度、力到向量（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列能使a∥b成立的是(　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0 解析　若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b，故A正确；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b，故B错误；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b，故C正确；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 2．如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，＝，则必有(　　) A．＝　　　　 B.＝ C．＝ D．＝ 答案　D 3.如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(　　) A．＝ 　　 B．＝ C．＝ 　　 D．＝ 解析　根据相等向量的定义，A中，与的方向不同，故A错误；B中，与的方向不同，故B错误；C中，与的方向相反，故C错误；D中，与的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确． 答案　D 4．如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形． (1)图中标出的向量中与向量相等的向量有________； (2)若||＝3，则向量的模等于________ . 解析　(1)由题意知AB∥EC，且D是EC的中点，所以与向量相等的向量有，. (2)因为||＝3，所以||＝6. 答案　(1)，　(2)6 5．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________ .向量与的夹角为________ . 解析　易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°， 设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1. 在Rt△ABO中，易得||＝， 则||＝2||＝2. 由平面几何知识得∠ABD＝30°， 所以向量与的夹角为150°. 答案　2　150° 6．如图，在四边形ABCD中，＝，N，M是AD，BC上的点，且＝. (1)求证：＝； (2)试写出图中与向量共线的向量． 解析　(1)证明　因为＝， 所以||＝||，且AB∥CD. 因此四边形ABCD是平行四边形，所以||＝||，且DA∥CB.同理由＝，可证四边形CNAM是平行四边形，所以＝. ||＝||，||＝||， 所以||＝||，即与的模相等， 又与的方向相同，故＝. (2)图中与向量共线的向量有 ，，，，，，，，，，. [关键能力·综合提升] 7．(多选题)如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系一定成立的是(　　) A．||＝|| B．与共线 C．与共线 D．与共线 解析　||与||一定相等，和一定共线，和一定共线，与不一定共线，故选ABD. 答案　ABD 8．(多选题)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是(　　) A．＝ B.∥ C．||＝|| D．||＝|| 解析　设正六边形ABCDEF的边长为a，依次分析各选项： 对于A，由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等，则有＝，故A正确； 对于B，由正六边形的性质可得AB与DE平行， 即∥，故B正确； 对于C，在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中心O，则有AD＝BE＝2a， 即有||＝||，故C正确； 对于D，在正六边形ABCDEF中， AC＝a，BE＝2a，则||≠||，故D错误． 答案　ABC 9.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为________；与向量共线的向量为________；与向量的模相等的向量为________ .(填图中所画出的向量) 解析　∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为； 与共线的向量为，； 与的模相等的向量为，，，，. 答案　　，　，，，， 10．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解析　(1)画出所有的向量如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝. ∴||的最大值为，最小值为. [核心素养·探索创新] 11.一辆消防车从A地到B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°行驶2 km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 解析　(1)向量，，，，如图所示． (2)由题意知＝. 所以AD綊BC