第1章 5.1 正弦函数的图象与性质再认识（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．函数y＝f(x)＝xsin x的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 解析　∵x∈R，且f(－x)＝－xsin (－x)＝xsin x＝f(x)，∴f(x)＝xsin x为偶函数．故选B. 答案　B 2．如图，曲线对应的函数是(　　) A．y＝|sin x|　　　　　　　 B．y＝sin|x| C．y＝－sin|x| D．y＝－|sin x| 解析　当x＞0时，y＝－sin x；当x＜0时，y＝sin x．所以y＝－sin|x|. 答案　C 3．下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11° 解析　∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin 80°，而y＝sin x在区间[0°，90°]上单调递增， ∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.故选C． 答案　C 4．函数y＝cos ＋1的周期为________，对称轴为________ . 解析　y＝cos ＋1＝sin x＋1， 故周期为2π，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z. 答案　2π　＋kπ，k∈Z 5．方程sin x＝－，在[0,2π]上实根的个数为__________ . 解析　画出y＝sin x和y＝－在区间[0,2π]上的图象，如图所示．由图象可知两图象有2个交点，因此原方程有2个实数根． 答案　2 6．利用正弦曲线，求满足＜sin x≤的x的集合． 解析　首先作出y＝sin x在区间[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和； 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和. 观察图象可知，在[0,2π]上， 当＜x≤，或≤x＜时， 不等式＜sin x≤成立． 所以＜sin x≤的解集为 . [关键能力·综合提升] 7．方程2x＝sin x的解的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．无穷多 解析　方程2x＝sin x的解的个数等价于函数y＝2x与y＝sin x图象交点的个数，作出y＝2x与y＝sin x的图象如图，可知解的个数为无穷多． 答案　D 8．(多选题)已知函数f(x)＝2sin x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小值为－2 B．f(x)的最大值为2 C．|x1－x2|的最小值为π D．|x1－x2|的最小值为2π 解析　∵f(x)的最小值为f＝－2，f(x)的最大值为f＝2，又f(x)的周期为2π，由周期的几何意义知|x1－x2|的最小值为π.故选ABC． 答案　ABC 9．函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(－a)＝2，则f(a)的值为________ . 解析　∵f(－a)＝－(a3＋sin a)＋1＝2， ∴a3＋sin a＝－1， ∴f(a)＝a3＋sin a＋1＝0. 答案　0 10．比较下列各组数的大小． (1)sin 196°和cos 156°； (2)sin 和cos ； (3)sin 和sin . 解析　(1)sin 196°＝sin (180°＋16°)＝－sin 16°. cos 156°＝cos (180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin 16°＜sin 66°. 从而－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞cos 156°. (2)∵cos ＝sin ， 又＜＜＋＜， y＝sin x在区间上单调递减， ∴sin ＞sin ＝cos ， 即sin ＞cos . (3)∵cos ＝sin ， ∴0＜cos ＜sin ＜1＜. 而y＝sin x在区间上单调递增， ∴sin ＜sin . [核心素养·探索创新] 11．已知函数f(x)＝sin x－2|sin x|，x∈[0,2π]． (1)作出函数f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间； (2)讨论g(x)＝sin x－2|sin x|－k，x∈[0,2π]的零点个数，并求此时k的取值范围． 解析　(1)f(x)＝ 图象如图， 由图象可知f(x)的递增区间为，； f(x)的递减区间为，. (2)由图象可知： 当k＞0或k＜－3时，直线y＝k与函数f(x)有0个交点； 当k＝－3时，直线y＝k与函数f(x)有1个交点； 当－3＜k＜－1时，直线y＝k与函数f(x)有2个交点；