第5章 2.2-2.3 复数的乘法与除法 复数乘法几何意义初探（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

2．2　复数的乘法与除法 *2.3　复数乘法几何意义初探 学业标准 素养目标 1．理解并掌握复数的乘法与除法法则，熟练进行复数的乘、除法运算．(难点) 2．理解复数乘法的运算律和复数正整数指数幂的运算性质，并能熟练应用．(重点) 3．掌握共轭复数的性质．(重点) 1．通过复数的乘、除运算，提升数学运算等核心素养． 2．通过学习复数乘法的运算律和复数的正整数指数幂的运算性质，培养数学抽象等核心素养. [教材梳理] 导学1　复数的乘法 　若z1，z2∈C，是否有z－z＝(z1＋z2)(z1－z2)和(z1＋z2)2＝z＋2z1z2＋z成立？ [提示]　成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立，即若z1，z2∈C，则有(z1＋z2)2＝z＋2z1z2＋z，z－z＝(z1＋z2)·(z1－z2)等． 　z2与|z|2有什么关系？ [提示]　当z∈R时，z2＝|z|2，当z是虚数时，z2≠|z|2，但|z|2＝|z2|.(如z＝i时，z2＝－1，|z|2＝1) ◎结论形成 1．复数的乘法 (a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__(a，b，c，d∈R)． 2．复数乘法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)交换律：z1·z2＝__z2·z1__； (2)结合律：(z1·z2)·z3＝__z1·(z2·z3)__； (3)乘法对加法的分配律：z1·(z2＋z3)＝__z1·z2＋z1·z3__ . 3．复数的正整数指数幂的运算性质 对复数z，z1，z2和正整数m，n，有 zm·zn＝__zm＋n__，(zm)n＝__zmn__，(z1·z2)n＝__z·z__ . 一般地，对任意自然数n，有 i4n＝__1__，i4n＋1＝__i__，i4n＋2＝__－1__，i4n＋3＝__－i__ . 4．互为共轭复数的积 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝__|z|2__＝　||2　＝__a2＋b2__ . 导学2　复数的除法 　已知z(1＋i)＝1，求复数z. [提示]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(x＋yi)(1＋i)＝1， 即　∴即z＝－i. ◎结论形成 1．复数的倒数 给定复数z2，若存在复数z，使得z2·z＝__1__，则称z是z2的倒数，记作z＝　　 . 2．复数的除法 对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·，即除以一个复数，等于乘这个复数的__倒数__ .因此 ＝＝(a＋bi)＝　－i.　 在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母c＋di的共轭复数__c－di__，化简后就得到上面的结果： ＝＝－i. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．(　　) (2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．(　　) 解析　(1)举反例：如复数2和2i，它们的模相等，但不是共轭复数． (2)例如z1＝1，z2＝i，显然z＋z＝0，但z1≠z2≠0. (3)设两个共轭虚数分别为z1＝a＋bi，1＝a－bi(a，b∈R，b≠0 )，差z1－1＝2bi(b≠0)为纯虚数． 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．(2022·新高考全国Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析　对原式两边同时乘以i得：z－1＝i，即z＝1＋i，所以＝1－i，即z＋＝2.故选D. 答案　D 3．复数＝________ . 解析　＝＝－i. 答案　－i 4．复数2－的共轭复数是________ . 解析　因为2－＝2＋i， 所以其共轭复数为2－i. 答案　2－i 题型一　复数的乘法与除法运算 　(1)复数(3＋2i)i等于(　　) A．－2－3i　　　　　 B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i (2)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i (3)计算：. [自主解答]　(1)(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i. (2)因为(z－1)i＝1＋i， 所以z＝＝＝2－i. (3)原式＝ ＝＝ ＝＝＝－1＋i. [答案]　(1)B　(2)C　(3)－1＋i [规律方法] 复数乘除运算的技巧 (1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样． (2)对于复数的除法运算，