第2章 3.1 向量的数乘运算（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3．1　向量的数乘运算 学业标准 素养目标 1．掌握向量的数乘运算的定义，并理解其几何意义．(重点) 2．掌握数乘运算的运算律，并能进行向量的线性运算．(难点) 1．通过向量数乘的定义、几何意义的学习，培养直观想象等核心素养． 2．通过向量的线性运算，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　向量的数乘运算的定义 　甲、乙、丙三人都从点M出发，甲向正南方向运动了5 km，乙向正南方向运动了15 km，丙向正北方向走了20 km，请问他们的位移是什么关系？ [提示]　甲、乙位移方向相同，乙的位移的大小是甲的3倍，甲、乙与丙的位移方向相反，丙的位移大小是甲的4倍，是乙的倍． ◎结论形成 1．数乘运算的定义及几何意义 定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ＞0时，向量λa与向量a的方向__相同__； 当λ＜0时，向量λa与向量a的方向__相反__； 当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝　|λ||a|　 . 这种运算称为向量的数乘． 几何意义： 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在__原方向__伸长或缩短为原来的__λ__倍； 当λ＜0时，表示向量a的有向线段在__反方向__伸长或缩短为原来的__|λ|__倍． 2．向量的单位化 一个非零向量除以__它的模(乘它的模的倒数)__的结果是一个与原向量同方向的单位向量，即，这一过程称为向量的单位化． 导学2　数乘运算的运算律 　数乘运算的运算律(1)和(3)有什么区别？ [提示]　在(λ＋μ)a＝λa＋μ a中，是对实数λ，μ的分配，用几何图形反映出来是在同一方向上，向量a之间的变化；在λ(a＋b)＝λa＋λb中，是对两个向量a，b进行的分配，反映在图形中(特别是右式)表现出是三角形法则求和． ◎结论形成 设λ，μ为实数，a，b为向量，数乘运算的运算律为： (1)(λ＋μ)a＝　λa＋μa　； (2)λ(μa)＝　(λμ)a　； (3)λ(a＋b)＝　λa＋λb　 . [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同．(　　) (2)－的长度是a的长度的，且－与a方向相反．(　　) (3)若λ＝0，则λa等于零．(　　) (4)若λ＝，则λa是与a同向的单位向量．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b　　　　　　 B．a C．a－6b D．a－8b 解析　原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b. 答案　D 3．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向相同，则向量a与向量b的关系为b＝________a. 解析　由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|， 又两向量同向，故b＝2a. 答案　2 4．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________. 解析　因为C在线段AB上，且＝， 所以与方向相同，与方向相反， 且＝，＝， 所以＝，＝－. 答案　　－ 题型一　数乘运算的定义及几何意义 　已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有(　　) ①当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反； ②当λ＞0，a≠0时λa与a的方向一定相同； ③当λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量； ④当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同； ⑤当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反． A．2个　　　　　　 B．3个 C．4个 D．5个 [自主解答]　根据实数λ与向量a的积λa的方向，易知①②③都是正确的；对于④，由λμ＞0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故④正确；对于⑤，由λμ＜0可得λ，μ异号，所以在λa和μa中，一个与a同向，另一个与a反向，所以λa与μa是反向的，故⑤正确． [答案]　D [规律方法] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算． (2)因为λa的结果为向量，所以当λ＝0或a＝0，均有λa＝0而不是0. (3)由3a＝5b可变形为a＝b，但不能变形为3＝. [触类旁通] 1．(多选题)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点，则下列正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．||＝2|| D．||＝3|| 解析　由题意知，A，C，D正确，B不正确． 答案　ACD 题型二　向量的线性运算一题多变 　(1)化简下列各式． ①3(6a＋b)－9； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)． (2)解关于x，y的方程组： [自主解答]　(1)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－