第2章 1 从位移、速度、力到向量（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

§1　从位移、速度、力到向量 学业标准 素养目标 1．了解向量的物理背景，理解零向量、单位向量的概念．(难点) 2．掌握向量的几何表示，理解相等向量、共线向量、向量夹角的含义．(重点) 1．通过学习向量的有关概念，重点提升数学抽象等核心素养． 2．会用有向线段表示向量，重点提升直观想象等核心素养. [教材梳理] 导学1　有向线段向量的概念与表示 　在物理中，位移与距离是同一个概念吗？现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，怎样正确区分这些量呢？ [提示]　位移与距离不是同一个概念；这些量中有些只有大小，没有方向，但有些既有大小又有方向，因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分． 　甲由A地向正北方向走了1 km，然后向正东方向又走了1 km，到达B地，问甲走的路程和位移各为多少？ [提示]　路程2 km，位移是向北偏东45°方向移动了 km. ◎结论形成 1．有向线段的概念及表示 具有方向和长度的线段称为有向线段(如图)．以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||. 2．向量的概念 (1)定义：既有__大小__又有__方向__的量统称为向量． (2)表示 (3)向量的模 向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 3．零向量与单位向量 长度为__0__的向量称为零向量，记作0或 　，任何方向都可以作为零向量的__方向__ .模等于__1个单位长度__的向量称为单位向量． 导学2　向量的基本关系 　 如图，△ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则与，与是什么关系？ [提示]　与是平行向量(共线向量)，与是相等向量． ◎结论形成 1．相等向量 是指它们的长度__相等__且方向__相同__ .向量a与b相等，记作　a＝b　 .若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量是__相等__的，代表相等向量的有向线段与起点位置__无关__ . 2．共线向量 若两个非零向量a，b的方向__相同__或__相反__，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作　a∥b　 . 3．相反向量 若两个向量的长度__相等__、方向__相反__，则称它们互为相反向量．相反向量是共线向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作　－a　 . 4．规定零向量与任一向量__共线__，即对于任意的向量a，都有　0∥a　 .零向量的相反向量仍是__零向量__ . 导学3　向量的夹角 　在等边△ABC中，∠ABC等于多少？向量与的夹角是多少？ [提示]　∠ABC＝，而与的夹角是. ◎结论形成 向量的夹角 定义 已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则　θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)　称为向量a与b的夹角 范围 　[0°，180°]　 特殊 θ＝__0°__ a与b同向 θ＝　180°　 a与b反向 θ＝　90°　 a与b垂直，记作　a⊥b　 .规定__零向量__可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小．(　　) (2)任意两个单位向量都相等．(　　) (3)向量与向量是相等向量．(　　) (4)若非零向量∥，那么AB∥CD.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度．其中不是向量的有(　　) A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析　②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥⑦只有大小，没有方向，不是向量． 答案　C 3．如图所示，四边形ABCD和BCEF都是平行四边形． (1)写出与相等的向量：________； (2)写出与共线的向量：________ . 答案　(1)，　(2)，，，， 4．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，(1)以A为始点，可以写出________个不同的向量；(2)向量与的夹角等于________． 解析　由图可知，以A为始点的向量有，，，，，，，共有7个． ∵＝，∴向量与的夹角等于. 答案　(1)7　(2) 题型一　向量的有关概念 　给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b； ③若＝，则四边形ABCD是平行四边形； ④在平行四边形ABCD中，一定有＝； ⑤若m＝n，n＝k，则m＝k； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中不正确的命题的个数为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 [自主解答]　两个向量始点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定