综合检测卷(二)（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

综合检测卷(二) [时间：120分钟　满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n，且数列的第k项满足5＜ak＜8，则k＝(　　) A．6　　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 解析　由an＝ 可得an＝ 由于a1＝－8也满足an＝2n－10，所以an＝2n－10，n∈N＋. 因为5＜ak＜8，即5＜2k－10＜8，解得＜k＜9，又k∈N＋， 所以k＝8.故选C. 答案　C 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝ln x＋x2f′(1)＋x，则f′(3)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　因为f(x)＝ln x＋x2f′(1)＋x， 所以f′(x)＝＋2f′(1)x＋1，令x＝1， 则f′(1)＝1＋2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－2， 所以f′(x)＝－4x＋1， 所以f′(3)＝－12＋1＝－.故选B. 答案　B 3．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　) A．－5 B．7 C．10 D．－19 解析　f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)． 在区间[－2，－1]上，令f′(x)＝0得x＝－1. 因为f(－2)＝2＋a，f(－1)＝－5＋a， 所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2，所以a＝0， 所以最小值f(－1)＝－5＋a＝－5.故选A. 答案　A 4．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝2Sn＋n＋4，且a2－1，a3，a7恰好构成等比数列的前三项，则a4＝(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析　因为各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝2Sn＋n＋4，所以a＝2Sn－1＋n－1＋4(n≥2)，两式相减得a＝a＋2an＋1＝(an＋1)2(n≥2)． 由于数列{an}的各项均为正数， 则an＋1－an＝1(n≥2)． 所以a3＝a2＋1，a7＝a2＋5. 由于a2－1，a3，a7恰为等比数列的前三项， 所以(a2＋1)2＝(a2－1)(a2＋5)，解得a2＝3， 所以a4＝a2＋2＝5. 答案　C 5．(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 解析　f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x．令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝.因为f()＝cos ＋(＋1)sin ＋1＝2＋，f()＝cos ＋(＋1)sin ＋1＝－，又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，所以f(x)max＝f()＝2＋，f(x)min＝f()＝－.故选D. 答案　D 6．定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＞1－f(x)，且f(0)＝6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式ex·f(x)＞ex＋5(其中e为自然对数的底数)的解集为(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞) C．(0，＋∞) D．(3，＋∞) 解析　设g(x)＝ex·f(x)－ex(x∈R)， 则g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]． 因为f′(x)＞1－f(x)， 所以f(x)＋f′(x)－1＞0， 所以g′(x)＞0， 所以y＝g(x)在定义域上单调递增． 因为ex·f(x)＞ex＋5，所以g(x)＞5， 又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝6－1＝5， 所以g(x)＞g(0)，所以x＞0， 所以不等式的解集为(0，＋∞)，故选C. 答案　C 7．在等比数列{an}中，an＞0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1·a5＋2a3·a5＋a2·a8＝25.又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋最大时，n的值为(　　) A．8 B．8或9 C．16或17 D．17 解析　因为a1·a5＋2a3·a5＋a2·a8＝25， 所以a＋2a3·a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25. 又an＞0，所以a3＋a5＝5，又q∈(0,1)， 所以a3＞a5. 又a3·a5＝4，则a3＝4，a5＝1，所以q＝. 则a1＝16，an＝25－n，所以bn＝5－n，所以数列{bn}的前n项和Sn＝，则＝， 当n≤8时，＞0；当n＝9时，＝0