第2章 导数及其应用 章末整合提升2（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

一、导数的几何意义 由于函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．因此利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线的斜率，解决解析几何中有关求切线方程、切点坐标、三角形的面积等问题． 　(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____________． (2)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝____________. [解析]　(1)易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0＋a) )，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1) . 可得切线方程为y－(x0＋a) ＝(x0＋a＋1) (x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a) ＝－x0(x0＋a＋1) ，化简得x＋ax0－a＝0，又切线有两条，即此方程有两不等实根，由判别式Δ＝a2＋4a>0，得a<－4，或a>0. (2)y′＝1＋，则曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线斜率为k＝1＋1＝2， 故切线方程为y＝2x－1. 因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 联立 得ax2＋ax＋2＝0，显然a≠0， 所以Δ＝a2－8a＝0，所以a＝8. [答案]　(1)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　(2)8 二、导数与函数的单调性 借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定．它经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合思想于一体． 　(2022·北京卷节选)已知函数f(x)＝exln(1＋x)． (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)设g(x)＝f′(x)，讨论函数g(x)在[0，＋∞)上的单调性． [解析]　(1)由题，f′(x)＝ex·ln(1＋x)＋ex·＝ex， 故f′(0)＝e0·＝1，f(0)＝e0ln(1＋0)＝0， 因此，曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝x. (2)由(1)，g(x)＝f′(x)＝ex＞0，x∈[0，＋∞)， 则g′(x)＝ex·， 设h(x)＝ln(1＋x)＋－， x∈[0，＋∞)， 则h′(x)＝－＋＝＞0， 故h(x)在[0，＋∞)上递增， 故h(x)≥h(0)＝1＞0， 因此g′(x)＞0对任意x∈[0，＋∞)恒成立， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增． 三、导数的综合应用(题点多探　多维探究) 导数是研究函数非常有用的工具，可以和许多考点相联系． (1)求函数的最大值与最小值；求函数的极大值与极小值；已知最值与极值，求参数的值． (2)解决不等式恒成立问题． (3)数形结合，研究函数图象的交点情况(方程根的个数问题)． 角度1　求函数的极值 　函数f(x)＝的图象在点(e2，f(e2))处的切线与直线y＝－x平行，则f(x)的极值点是____________． [解析]　f′(x)＝， 故f′(e2)＝－＝－，解得a＝1， 故f(x)＝，f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x＝e. 因为当0＜x＜e时，f′(x)＞0， 当x＞e时，f′(x)＜0， 所以x＝e是函数f(x)的极大值点． [答案]　x＝e 角度2　求函数的最值 　(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B． C. D．[18,27] [解析]　记四棱锥的高与侧棱的夹角为θ，高为h，底面中心到底面各顶点的距离为m.由题意知球的半径r＝3，所以cos θ＝＝∈，则l＝6cos θ， m＝lsin θ＝6sin θcos θ， h＝＝＝6cos2 θ， S底＝×2m×2m＝2m2， 故V＝S底·h＝×2m2h＝144(sin θcos2 θ)2， 令y＝sin θcos2 θ＝sin θ(1－sin2 θ)． 令x＝sin θ，则y＝x(1－x2)， 所以y′＝－3x2＋1，故x∈，y′>0， x∈，y′<0， 即Vmax＝144y＝144×2＝， Vmin＝144×2＝. [答案]　C 角度3　利用导数解决不等式、函数零点问题 　(2022·新高考全国Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1 时，讨论f(x)的单调性； (2)当x＞0 时，f(x) ＜－1，求实数a的取值范围． [解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝xex－ex， f′(x)＝xex. 当x>0时，f′(x)