第2章 5 简单复合函数的求导法则（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　简单复合函数的求导法则 学业标准 素养目标 1．理解复合函数的概念．(难点) 2．掌握简单复合函数的求导法则并能熟练应用．(重点) 1．通过学习复合函数的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．借助复合函数求导法则的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　复合函数的求导法则 　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合而成的． [提示]　令u＝φ(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2， 则y＝f(u)＝f(φ(x))＝(3x＋2)2. 　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，φ(x)＝3x＋2的导数． [提示]　y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，φ′(x)＝3. 　观察问题2中的导数有何关系． [提示]　y′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)． ◎结论形成 1．复合函数的概念 对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了__u__的值，进而确定了__y__的值，那么y可以表示成 __x__的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的__复合__函数，记作y＝__f(φ(x))__，其中u为__中间变量__． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为yx′＝[f(φ(x))]′＝__f′(u)φ′(x)__，其中u＝φ(x)． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(　　) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　　) (3)函数f′(x)＝cos 2x导数为f′(x)＝－sin 2x.(　　) (4)函数f(x)＝ln(5x)的导数为f′(x)＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数y＝(3x－4)2的导数是(　　) A．4(3x－2)　　　　　　 B．6x C．6x(3x－4) D．6(3x－4) 解析　y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)． 答案　D 3．f(x)＝ln(cos2x)的导数是(　　) A. B． C. D． 解析　因为f(x)＝ln cos2 x， 所以f′(x)＝＝－. 答案　D 4．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为____________． 解析　由f(x)＝ln(ax－1)可得f′(x)＝.由f′(2)＝2，可得＝2，解得a＝. 答案　 题型一　求简单的复合函数的导数(一题多解) 　求下列函数的导数： (1)y＝4；(2)y＝. [解析]　(1)解法一　设u＝2x3－x＋，y＝u4， 则yx′＝yu′·ux′＝4u3· ＝43. 解法二　y′＝′ ＝43′ ＝43. ●方法技巧 1．求复合函数的导数的步骤 (1)适当选定中间变量，正确分解复合关系． (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)． (3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数． 2．复合函数的求导技巧 借助对数运算法则，先变形再求导． 例：求函数y＝ln 的导数． 提示：变形得y＝ln＝[ln(1＋x)－ln(1－x)]， 所以y′＝＝. [触类旁通] 1．(1)已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)＝(　　) A．2cos 2x＋2e2x　　　 B．cos 2x＋e2x C．2sin 2x＋2e2x D．sin 2x＋e2x (2)已知f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，则a＝(　　) A. B． C．－ D．－ 解析　(1)根据题意，f(x)＝sin 2x＋e2x， 则f′(x)＝2cos 2x＋2e2x. (2)f′(x)＝－a，所以f′(2)＝－a＝－1，解得a＝. 答案　(1)A　(2)A 题型二　复合函数导数的应用 　已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值． [解析]　因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，所以f′(1)＝2a－2， 所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0. 因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝， 解得a＝. [母题变式] (变条件)若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，求a的取值范围． 解析　由例题知，直线l的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0. 因为直线l与圆C：x2＋y2＝相交， 所以圆心到直线l的距离小于半径． 即d＝＜.解得a＞. ●素养聚焦 本例通过复合函数导数的应用，重点提升数学运算等核心素养． ●规律方法 解决此类问题，正确求出复合函数