第2章 4 导数的四则运算法则（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　导数的四则运算法则 学业标准 素养目标 1．结合实例，了解导数四则运算法则的推导过程．(难点) 2．掌握导数的四则运算法则并能熟练应用. 1．借助实例，概括导数的四则运算法则，培养数学抽象等核心素养． 2．通过导数四则运算法则的应用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　导数的四则运算法则 已知f(x)＝x，g(x)＝，Q(x)＝x＋， H(x)＝x－. 　求f(x)，g(x)的导数． [提示]　f′(x)＝1，g′(x)＝－. 　求Q(x)，H(x)的导数． [提示]　令y＝Q(x)＝x＋，因为Δy＝(x0＋Δx)＋－＝Δx＋， 所以＝1－. 当Δx趋于0时，得Q(x)在x＝x0处的导数， 所以Q′(x0)＝ ＝ ＝1－， 所以导数Q′(x)＝1－. 同理H′(x)＝1＋. 　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何运算关系？ [提示]　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差． 　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？ [提示]　不对，因为f(x)g(x)＝1， 所以[f(x)g(x)]′＝0， 而f′(x)g′(x)＝1×＝－. 　′＝对吗？ [提示]　不对，因为＝＝x2， 所以′＝2x，而＝＝－x2. ◎结论形成 导数的四则运算法则 运算 法则 语言叙述 加减 运算 [f(x)±g(x)]′＝ __f′(x)±g′(x)__. 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__和(或差)__． 乘法 运算 [f(x)g(x)]′＝ __f′(x)g(x)＋__ __f(x)g′(x)__． 特别地， [Cf(x)]′＝Cf′(x)， C∈R 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数． 常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数． 除法 运算 ′＝　　. 其中g(x)≠0 两个函数商的导数等于分母上的函数乘分子的导数，减去分子乘分母的导数所得的差除以分母的平方. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)′＝.(　　) (2)若f(x)＝f′(1)ln x，则f′(x)＝.(　　) (3)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　) (4)当g(x)≠0时，′＝－.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．设f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a＝(　　) A.　 　 B．　 　　 C.　 　 D． 解析　因为设f(x)＝ax3＋3x2＋2， 所以f′(x)＝3ax2＋6x.若f′(－1)＝4， 则3a－6＝4，解得a＝. 答案　D 3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　) A．e B．e2 C. D．ln 2 解析　由f(x)＝xln x，得f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1.由f′(x0)＝2，得ln x0＝1，则x0＝e. 答案　A 4．已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝____________. 解析　因为f′(x)＝＝(x≠0)， 所以由f′(x0)＋f(x0)＝0， 得 解得x0＝. 答案　 题型一　利用导数的四则运算法则求导数(一题多解) 　求下列函数的导数： (1)y＝xsin x； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝； (4)y＝－2x. [解析]　(1)y′＝(x)′sin x＋x(sin x)′ ＝sin x＋xcos x. (2)解法一　y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11. 解法二　因为y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， 所以y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. (3)解法一　y′＝′ ＝ ＝＝. 解法二　因为y＝＝＝1－， 所以y′＝′＝－′ ＝－＝. (4)y′＝′＝′－(2x)′ ＝－2xln 2 ＝－2xln 2. ●规律方法 对一个函数求导时，要紧扣导数的四则运算法则，联系基本初等函数的导数公式．当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程． [触类旁通] 1．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x