第2章 2.2 导数的几何意义（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

2．2　导数的几何意义 学业标准 素养目标 1．了解切线的概念，理解导数的几何意义．(难点) 2．会利用导数的几何意义求简单函数的切线方程．(重点) 1．通过学习切线的概念，培养直观想象等核心素养． 2．通过求切线方程，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　导数的几何意义 　如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？ [提示]　l1不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线． 　 设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋于点A时，割线AB如何变化呢？割线AB的斜率kAB与在点A处的切线AD的斜率k之间有什么关系？ [提示]　当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB趋近于切线AD，且kAB无限趋近于切线AD的斜率k. ◎结论形成 1．曲线的切线概念 如图，设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于__0__时，点B将__沿着曲线y＝f(x)趋于点A__，割线AB将绕__点A转动趋于直线l__.称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数__f′(x0)__，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的__斜率__．相应地，切线方程为__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．(　　) (2)若直线与曲线相切，则该曲线在切线的一侧．(　　) (3)一条直线过点P(x0，y0)与曲线y＝f(x)相切，则点P(x0，y0)一定是切点．(　　) (4)切点一定是切线与曲线的公共点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直 解析　f′(x0)＝0，即曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以切线与x轴平行或重合，故选B. 答案　B 3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)＞f′(xB)　　 B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析　分别作出A，B两点处的切线，由图可知kB＜kA，即f′(xB)＜f′(xA)． 答案　A 4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝____________. 解析　点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上， 所以f(5)＝－5＋8＝3， 且f′(5)＝－1，所以f(5)＋f′(5)＝2. 答案　2 题型一　求曲线的切线方程(一题多变) 　(1)已知曲线方程为y＝x2，则过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程为____________________； (2)过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是____________________________． [解析]　(1)因为＝＝4＋Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于4， 又点A(2,4)在y＝x2上，所以f′(2)＝4. 所以所求切线的斜率k＝4， 故所求切线的方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)由题意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3(Δx)2＋2Δx， 当Δx趋于0时，趋于2，故f′(1)＝2， 所以所求直线的斜率k＝2. 则直线方程为y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0. [答案]　(1)4x－y－4＝0　(2)2x－y＋4＝0 [母题变式] 1．(变条件)在本例(1)中若将“点A(2,4)”改为“点B(0,0)”，则结果如何？ 解析　因为＝＝Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于0. 又点B(0,0)在曲线y＝x2上，所以f′(0)＝0， 所以所求切线的斜率k＝0. 故所求切线的方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0. 2．(变条件)在本例(1)中若将“点A(2,4)”改为“点C(3,5)”，则结果如何？ 解析　因为点C(3,5)不在曲线y＝x2上， 所以设切点坐标为(x0，x)． 因为＝＝2x0＋Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于2x0. 所以切线的斜率k＝2x0， 切线方程为y－x＝2x0(x－x0)， 又因为点C(3,5)在切线上， 所以5－x＝2x0(3－x0)，解得x0＝