第2章 2.1 导数的概念（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　导数的概念及其几何意义 2．1　导数的概念 学业标准 素养目标 1．了解函数导数的概念，会求函数在某点处的导数．(重点) 2．理解导数在实际问题中的意义并能简单应用．(难点) 1．通过导数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助求函数在某点处的导数及结合具体问题解释导数的实际意义，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　导数的概念 　已知函数f(x)＝3x2＋2. (1)求f(x)在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率； (2)当Δx趋于0时，平均变化率有什么样的变化趋势？ [提示]　(1)因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝12Δx＋3(Δx)2， 所以f(x)在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率为 ＝12＋3Δx. (2)当Δx趋于0时，趋于常数12. ◎结论形成 导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从__f(x0)__变到__f(x1)__，函数值y关于x的平均变化率为＝　　＝　　. 当x1趋于x0，即Δx趋于__0__时，如果平均变化率趋于__一个固定的值__，那么这个值就是函数y＝f(x)在点__x0的瞬时变化率__．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点__x0处的导数__，通常用符号__f′(x0)__表示，记作f′(x0)＝　 　＝　 　. [拓展]　 1．理解函数在某点处的导数 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． 2．函数在某点处的导数f′(x0)的物理意义 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)位移函数f(t)在t0处的导数f′(t0)就是f(t)在t0时刻的瞬时速度． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) (4)函数y＝f(x)在x0处的导数实质就是函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选题)物体自由落体的运动函数为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中不正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 解析　结合平均变化率与瞬时变化率可知选项A，B，D都不正确．只有C正确． 答案　ABD 3．已知函数f(x)＝A(A为常数)，则f′(2)＝____________. 解析　因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝A－A＝0， 所以＝0. 当Δx趋于0时，趋于0，所以f′(2)＝0. 答案　0 4．某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是____________． 解析　＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6， 所以当Δt趋于0时，趋于6， 即s′(1)＝6， 故物体在第t＝1时的瞬时速度为6. 答案　6 题型一　求函数在某点处的导数 　(1)已知函数y＝f(x)＝ax＋4，若当Δx趋于0时，趋于2，则实数a的值为(　　) A．2　　 B．－2　　 C．3　　 D．－3 (2)求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数． [解析]　(1)若当Δx趋于0时，趋于2， 所以f′(x)＝a，所以a＝2. [答案]　A (2)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3， ＝＝5＋3Δx＋(Δx)2， 当Δx趋于0时，趋于5，所以f′(1)＝5. ●规律方法 用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均变化率＝. (3)取极限，得导数f′(x0)＝ .即Δx趋于0时，趋于一个常数．简记为一差、二比、三极限． [触类旁通] 1．求函数y＝f(x)＝x＋在x＝1处的导数． 解析　因为Δy＝(1＋Δx)＋－ ＝Δx－1＋＝＝， 所以＝. 当Δx趋于0时，趋于0，所以f′(1)＝0. 题型二　求瞬时速度(一题多变) 　如果某物体的运动路程s与时间t满足函数s＝2(1＋t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求此物体在1.2 s末的瞬时速度． [解析]　Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22)＝4.8Δ